Hai, readers. Akhirnya hari ini saya kembali memiliki niat untuk kembali menulis di blog ini. Kali ini saya ingin melanjutkan pembahasan soal-soal kompetisi matematika tingkat SMP yang pernah saya tulis sebelumnya yaitu Goes to Mathematics Olympiad (Random 1)
Soal 1. LMNAS UGM Ke-26: Matematika SMP
Diberikan suatu deret 1*2*3*4*5*6*7*8*9. Banyaknya cara mengganti tanda "*" dengan tanda "+" atau "-" sehingga jumlah deretnya menjadi 29 adalah ....
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
E. 9
Jawab: D
Andaikan semua "*" diganti dengan "+" maka
$1+2+3+4+5+6+7+8+9= \frac{9×10}{2}=45$.
Jika beberapa angka diganti tanda negatif, maka jumlah tersebut harus berkurang sebanyak 2 kali lipat dari jumlah bilangan yang diubah. Untuk itu, agar jumlahnya menjadi 29, jumlah bilangan yang diganti menjadi negatif haruslah 8.
Kemungkinannya yaitu: {8}{2, 6}{3, 5}.
$1+2+3+4+5+6+7+8+9= \frac{9×10}{2}=45$.
Jika beberapa angka diganti tanda negatif, maka jumlah tersebut harus berkurang sebanyak 2 kali lipat dari jumlah bilangan yang diubah. Untuk itu, agar jumlahnya menjadi 29, jumlah bilangan yang diganti menjadi negatif haruslah 8.
Kemungkinannya yaitu: {8}{2, 6}{3, 5}.
Soal 2.
Perhatikan bahwa 111.111.111 habis dibagi 9 karena jumlah digit-digitnya habis dibagi 9, dan 1.000.000.001.000.000.001 habis dibagi 3 karena jumlah digit-digitnya habis dibagi 3. Oleh karena itu, $x$ habis dibagi 27.
Jika $x$ adalah sebuah bilangan yang terdiri dari 27 angka 1, berapakah sisanya jika $x$ dibagi 27?
A. 26
B. 22
C. 18
D. 4
E. 0
Jawab: E
$x=111.111.111.111.111.111.111.111.111$
$x=111.111.111\times (1.000.000.000.000.000.000+1.000.000.000+1)$
$x=111.111.111\times (1.000.000.001.000.000.001)$
Perhatikan bahwa 111.111.111 habis dibagi 9 karena jumlah digit-digitnya habis dibagi 9, dan 1.000.000.001.000.000.001 habis dibagi 3 karena jumlah digit-digitnya habis dibagi 3. Oleh karena itu, $x$ habis dibagi 27.
(Cr: Akal)
Soal 3. LMNAS 29 UGM:Babak Penyisihan SMA
Misalkan $N=(1!)^3+(2!)^3+...+(2018!)$ . Jika tiga digit terakhir dari N adalah $\overline{abc}$, maka nilai $a+b+c$ adalah ....
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
E. 13
Jawab: E
Perhatikan bahwa digit terakhir dari $5!$, $6!$, ..., $2018!$ adalah 0 sehingga tiga digit terakhir dari $(5!^3)$, $(6!)^3$, ..., $(2018!)^3$ adalah 000.
Untuk menentukan 3 digit terakhir dari N cukup kita hanya perlu memperhatikan tiga digit terakhir dari $1$, $2!$, $3!$, dan $4!$, yaitu $001+008+216+824=1049$. Jadi, $\overline{abc}=049$ dan $a+b+c=0+4+9=13$
Untuk menentukan 3 digit terakhir dari N cukup kita hanya perlu memperhatikan tiga digit terakhir dari $1$, $2!$, $3!$, dan $4!$, yaitu $001+008+216+824=1049$. Jadi, $\overline{abc}=049$ dan $a+b+c=0+4+9=13$
