Pembuktian Sifat-Sifat Eksponen

Bentuk umum:

$a^n$

dengan a sebagai bilangan pokok atau basis, dan b sebagai pangkat.
Definisi:

$a^n=\underbrace{a\times a \times a\times ... \times a}_{n\ kali}$

Contoh 1.
$2^4=2\times 2\times 2\times 2=16$


Contoh 2.
$\left ( -3 \right )^{3}=\left ( -3 \right )\times \left ( -3 \right )\times \left ( -3 \right )=-27$

Sifat-Sifat Eksponen

Sifat 1.

$a^m\times a^n=a^{m+n}$ 

Bukti:

$a^m\times a^n=(\underbrace{a\times a \times a\times ... \times a}_{m\ kali}) \times (\underbrace{a\times a \times a\times ... \times a}_{n\ kali})$

$\leftrightarrow a^m\times a^n=\underbrace{a\times a \times a\times ... \times a}_{m+n\ kali}$

$\leftrightarrow a^m\times a^n=a^{m+n}$

Contoh 3.

$2^3 \times 2^5 = 2^{3+5}=2^8$

Contoh 4.

$p^4 \times p^6 = p^{4+6}=p^{10}$

Sifat 2.

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

Bukti:

$\frac{a^m}{a^n}=\frac{( \underbrace{a\times a \times a\times ... \times a}_{m\ kali})}{( \underbrace{a\times a \times a\times ... \times a}_{n\ kali})}$

$\leftrightarrow \frac{a^m}{a^n}=\underbrace{a\times a \times a\times ... \times a}_{m-n\ kali}$

Contoh 5.

$\frac{3^7}{3^2}=3^{7-2}=3^5$

Contoh 6.

$\frac{q^10}{q^7}=q^{10-7}=q^3$

Sifat 3. (Implikasi Sifat 2)

$a^0=1$

Bukti:

$a^0=a^{m-m}$

$\leftrightarrow a^0=\frac{a^m}{a^m}$________________ (dari sifat 2)

$\leftrightarrow a^0=\frac{( \underbrace{a\times a \times a\times ... \times a}_{m\ kali})}{( \underbrace{a\times a \times a\times ... \times a}_{m\ kali})}$

$\leftrightarrow a^0=1$

Contoh 7.

$3^0=1$

Contoh 8.

$r^0=1$

Sifat 4. (Implikasi Sifat 2)

$a^{-m}=\frac{1}{m}$

Bukti:

$a^{-m}=a^{0-m}$

$\leftrightarrow a^{-m}=\frac{a^0}{a^m}$________________ (dari sifat 2)

$\leftrightarrow a^{-m}=\frac{1}{a^m}$

Contoh 9.

$5^{-1}=\frac{1}{5}$

Contoh 10.

$2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$

Cek juga soal dan pembahasannya pada Soal dan Pembahasan Eksponen

Sifat 5.

$\left ( a^{m} \right )^{n}=a^{mn}$

Bukti:

$(a^m)^n=\underbrace{a \times a \times ... \times a}_{mn\ kali}$
$\left ( a^{m} \right )^{n}=a^{mn}$

Contoh 11.

$(2^5)^{4}=2^{20}$

Contoh 12.
$27^5=(3^3)^5=3^{15}$

Sifat 6. $\left ( ab \right )^{m}=a^{m}\times b^{m}$

Bukti: $(ab)^m=\underbrace{(ab)\times (ab) \times ... \times (ab)}_{m\ kali}$ $(ab)^m=\underbrace{a \times a \times ... \times a}_{m\ kali} \times \underbrace{b \times b \times ... \times b}_{m\ kali}$
$(ab)^m=a^m \times b^m$

Contoh 13.

$(2mn)^{4}=2^4 m^4 n^4$

Contoh 14.
$(3a^3 b^2)^3=3^3 (a^3)^3 (b^2)^3=27a^9 b^6$

Sifat 7.

$\left ( {\frac{a}{b}} \right )^{m}=\frac{a^{m}}{ b^{m}}$

Bukti:
$\left ( {\frac{a}{b}} \right )^{m}= \underbrace{\frac{a}{b} \times \frac{a}{b} \times ... \times \frac{a}{b}}_{m\ kali}$
$\left ( {\frac{a}{b}} \right )^{m}= \frac{\underbrace{a \times a \times ... \times a}_{m\ kali}}{\underbrace{b \times b \times ... \times b}_{m\ kali}}$
$\left ( {\frac{a}{b}} \right )^{m}=\frac{a^{m}}{ b^{m}}$

Contoh 15.

$\left ( {\frac{p}{q}} \right )^{3}=\frac{p^{3}}{ q^{3}}$

Contoh 16.
$\left ( {\frac{m}{2n}} \right )^{5}=\frac{m^{5}}{2^{5} n^5}\frac{m^{5}}{32 n^5}$

Cek juga soal dan pembahasannya pada Soal dan Pembahasan Eksponen
Kumpulan Soal Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri:
Persamaan Kuadrat
Logaritma
Polinomial
Trigonometri
Lingkaran
Vektor