Notasi Sigma

Perhatikan penjumlahan berikut ini.

$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+...+98^2+99^2+100^2$                      ...... Persamaan (1)

Penjumlahan tersebut merupakan jumlah kuadrat 100 bilangan asli pertama. Untuk mempermudah penulisan dari penjumlahan tersebut, para matematikawan membuat suatu cara penulisan dari penjumlahan yang demikian. Cara tersebut dikenal dengan "Notasi Sigma".

Sigma ($\Sigma$) dalam matematika melambangkan penjumlahan dari suatu deretan bilangan. Notasi sigma tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut.
$\sum_{i=1}^{n}{a_i}=a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + .... + a_{n-1} + a_n$
dibaca: sigma (atau jumlah) $a_k$ dengan $i$ mulai dari 1 sampai dengan n.

Penjumlahan pada persamaan (1) dapat dituliskan dengan:

$\sum_{i=1}^{100}{i^2}$

Perlu diperhatikan bahwa untuk menggunakan notasi sigma, kita perlu terlebih dahulu menentukan bentuk umum dari penjumlahan yang dimaksud serta menentukan saat mulai dan berakhirnya nilai $i$.

Perhatikan contoh-contoh berikut.
1. $\sum_{i=1}^{5}{i}=1 + 2 + 3 + 4 +5$
2. $\sum_{i=1}^{6}{2i-1}=(2(1)-1) +(2(2)-1)+(2(3)-1)+(2(4)-1)+(2(5)-1)+(2(6)-1)$
3. $\sum_{i=1}^{4}{2^i}=2^1+2^2+2^3+2^4$
4. $\sum_{i=1}^{5}{\frac{1}{i}}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$

Sifat-Sifat Notasi Sigma
Sifat 1.
$\sum_{i=1}^{n}{c}=n \cdot c$, dengan c adalah konstan.

Sifat 2.
$\sum_{i=1}^{n}{xa_i}=x\cdot \sum_{i=1}^{n}{a_i}$, dengan x adalah bilangan riil tak nol.

Sifat 3.
$\sum_{i=1}^{n}{(a_i+b_i)}= \sum_{i=1}^{n}{a_i} + \sum_{i=1}^{n}{a_i}$

Beberapa deret bilangan dapat dihitung dengan menggunakan rumus tertentu yang dapat dibuktikan. Rumus-rumus deret bilangan itu sebagai berikut.

1. $\sum_{i=1}^{n}{i}=\frac{n(n+1)}{2}$

2. $\sum_{i=1}^{n}{i^2}=\frac{n(2n+1)(n+1)}{6}$

3. $\sum_{i=1}^{n}{(2i-1)^2}=n^2$

4. $\sum_{i=1}^{n}{i\cdot (i+1)}=\frac{n(n+1)(n+2}{3}$

Contoh 1:
$\sum_{i=1}^{5}{3}=5 \cdot 3$

Contoh 2.
$\sum_{i=1}^{2017}{i}=1 + 2 + 3 + 4 + ... + 2016 + 2017$
$\sum_{i=1}^{2017}{i}=\frac{2017(1+2017)}{2}=\frac{2017(2018)}{2}=2017\times 509=1.026.653$

Contoh 3.
$\sum_{i=1}^{5}{3i}=3 \cdot \sum_{i=1}^{5}{k}$
$\sum_{i=1}^{5}{3i}=3 \cdot (1+2+3+4+5)$
$\sum_{i=1}^{5}{3i}=3 \cdot \frac{5(1+5)}{2}$
$\sum_{i=1}^{5}{3i}=3 \cdot 15$
$\sum_{i=1}^{5}{3i}= 45$

Contoh 4.
$\sum_{i=1}^{5}{i^2}=\frac{5(2(5)+1)((5)+1)}{6}$
$\sum_{i=1}^{5}{i^2}=\frac{5\times 11 \times 6}{6}$
$\sum_{i=1}^{5}{i^2}=55$

Contoh 5.

$\sum_{i=1}^{5}{3i+2}=\sum_{i=1}^{5} 3i + \sum_{i=1}^{5} 2$
$\sum_{i=1}^{5}{3i+2}=3\times \frac{5\times 6}{2} + 5\times 2$
$\sum_{i=1}^{5}{3i+2}=45 + 10$
$\sum_{i=1}^{5}{3i+2}=65$

Memfaktorkan dan Menguraikan

Salah satu strategi penyelesaian masalah yang sering digunakan pada materi aljabar yaitu dengan memfaktorkan atau menguraikan permasalahan itu sehingga dapat menjadi lebih sederhana. Beberapa bentuk pemfaktoran dan penguraian yang seringkali digunakan yaitu
1.  $(x+y)^{2}=x^2+2xy+y^2$
2.  $(x-y)^{2}=x^2-2xy+y^2$
3.  $(x^2-y^{2})=(x-y)(x+y)$
4.  $(x+y+z)^{2}=x^2+y^2+z^2 +2(xy+xz+yz)$
5.  $x^3+y^3 = (x+1)(x^2 -xy +y^2)$
6.  Merasionalkan bentuk akar
     a) $\frac{a}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}=\frac{a}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}\cdot \frac{\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}.$
     b) $\frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\cdot \frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}.$
     c) $\frac{a}{b\sqrt{c}}=\frac{a}{b\sqrt{c}}\cdot \frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c}}=\frac{a\sqrt{c}}{c}.$


Tentu saja bentuk-bentuk tersebut hanya beberapa saja dan masih ada bentuk lainnya dan digunakan tergantung dengan permasalahannya.

Contoh 1. (OSK 2004 SMP/MTS)
Nilai dari $\sqrt{5050^2-4950^2}=....$
Penyelesaian:
$\sqrt{5050^2-4950^2}=\sqrt{(5050-4950)(5050+4950)}$
$\sqrt{5050^2-4950^2}=\sqrt{(100)(10000)}$
$\sqrt{5050^2-4950^2}=\sqrt{(1000000)}$
$\sqrt{5050^2-4950^2}=1000$

Contoh 2. (OSK 2015 SMP/MTS)
Nilai dari $\frac{\sqrt{3^{2015}}}{\sqrt{3^{2015}} - \sqrt{3^{2013}}}= ...$
Penyelesaian:
$\frac{\sqrt{3^{2015}}}{\sqrt{3^{2015}} - \sqrt{3^{2013}}}=\frac{\sqrt{3^{2015}}}{\sqrt{3^{2015}} - \sqrt{3^{2013}}}\cdot \frac{\sqrt{3^{2015}} + \sqrt{3^{2013}}}{\sqrt{3^{2015}} + \sqrt{3^{2013}}}$

$\frac{\sqrt{3^{2015}}}{\sqrt{3^{2015}} - \sqrt{3^{2013}}}=\frac{3^{2015}+3^{2014}}{3^{2015} - 3^{2013}}$
$\frac{\sqrt{3^{2015}}}{\sqrt{3^{2015}} - \sqrt{3^{2013}}}=\frac{3^{2013}(9+3)}{3^{2013}(9-1)}$
$\frac{\sqrt{3^{2015}}}{\sqrt{3^{2015}} - \sqrt{3^{2013}}}=\frac{12}{8}$
$\frac{\sqrt{3^{2015}}}{\sqrt{3^{2015}} - \sqrt{3^{2013}}}=\frac{3}{2}$

Contoh 3. (OSK 2016 SMP/MTS)
Nilai dari $\frac{2017\times (2016^2 -16)\times 2015}{2020 \times (2016^2 -1)}= ...$
Penyelesaian:
$\frac{2017\times (2016^2 -16)\times 2015}{2020 \times (2016^2 -1)}=\frac{2017\times (2016-4)(2016+4)\times 2015}{2020 \times (2016-1)(2016+1}$
$\frac{2017\times (2016^2 -16)\times 2015}{2020 \times (2016^2 -1)}=\frac{2017\times 2012 \times 2020 \times 2015}{2020 \times 2015 \times 2017}$
$\frac{2017\times (2016^2 -16)\times 2015}{2020 \times (2016^2 -1)}=2012$

Contoh 4. (OSK SMA 2013)
Misalkan $a$ dan $b$ adalah bilangan asli dengan $a>b$. Jika $\sqrt{94+2\sqrt{2013}}=\sqrt{a}+ \sqrt{b}$ maka nilai $a-b$ adalah ....
Penyelesaian:
$\sqrt{94+2\sqrt{2013}}=\sqrt{61 + 33 + 2\sqrt{61\times 33}}$
$\sqrt{94+2\sqrt{2013}}=\sqrt{(\sqrt{61})^2+ 2\sqrt{61\times 33} + (\sqrt{33})^2}$
$\sqrt{94+2\sqrt{2013}}=\sqrt{(\sqrt{61}+\sqrt{33})^2}$
$\sqrt{94+2\sqrt{2013}}=\sqrt{61}+\sqrt{33}$
Jadi, $a=61$ dan $b=33$ sehingga diperoleh $a-b=61-33=28$