Memfaktorkan dan Menguraikan

Salah satu strategi penyelesaian masalah yang sering digunakan pada materi aljabar yaitu dengan memfaktorkan atau menguraikan permasalahan itu sehingga dapat menjadi lebih sederhana. Beberapa bentuk pemfaktoran dan penguraian yang seringkali digunakan yaitu
1.  $(x+y)^{2}=x^2+2xy+y^2$
2.  $(x-y)^{2}=x^2-2xy+y^2$
3.  $(x^2-y^{2})=(x-y)(x+y)$
4.  $(x+y+z)^{2}=x^2+y^2+z^2 +2(xy+xz+yz)$
5.  $x^3+y^3 = (x+1)(x^2 -xy +y^2)$
6.  Merasionalkan bentuk akar
     a) $\frac{a}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}=\frac{a}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}\cdot \frac{\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}.$
     b) $\frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\cdot \frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}.$
     c) $\frac{a}{b\sqrt{c}}=\frac{a}{b\sqrt{c}}\cdot \frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c}}=\frac{a\sqrt{c}}{c}.$


Tentu saja bentuk-bentuk tersebut hanya beberapa saja dan masih ada bentuk lainnya dan digunakan tergantung dengan permasalahannya.

Contoh 1. (OSK 2004 SMP/MTS)
Nilai dari $\sqrt{5050^2-4950^2}=....$
Penyelesaian:
$\sqrt{5050^2-4950^2}=\sqrt{(5050-4950)(5050+4950)}$
$\sqrt{5050^2-4950^2}=\sqrt{(100)(10000)}$
$\sqrt{5050^2-4950^2}=\sqrt{(1000000)}$
$\sqrt{5050^2-4950^2}=1000$

Contoh 2. (OSK 2015 SMP/MTS)
Nilai dari $\frac{\sqrt{3^{2015}}}{\sqrt{3^{2015}} - \sqrt{3^{2013}}}= ...$
Penyelesaian:
$\frac{\sqrt{3^{2015}}}{\sqrt{3^{2015}} - \sqrt{3^{2013}}}=\frac{\sqrt{3^{2015}}}{\sqrt{3^{2015}} - \sqrt{3^{2013}}}\cdot \frac{\sqrt{3^{2015}} + \sqrt{3^{2013}}}{\sqrt{3^{2015}} + \sqrt{3^{2013}}}$

$\frac{\sqrt{3^{2015}}}{\sqrt{3^{2015}} - \sqrt{3^{2013}}}=\frac{3^{2015}+3^{2014}}{3^{2015} - 3^{2013}}$
$\frac{\sqrt{3^{2015}}}{\sqrt{3^{2015}} - \sqrt{3^{2013}}}=\frac{3^{2013}(9+3)}{3^{2013}(9-1)}$
$\frac{\sqrt{3^{2015}}}{\sqrt{3^{2015}} - \sqrt{3^{2013}}}=\frac{12}{8}$
$\frac{\sqrt{3^{2015}}}{\sqrt{3^{2015}} - \sqrt{3^{2013}}}=\frac{3}{2}$

Contoh 3. (OSK 2016 SMP/MTS)
Nilai dari $\frac{2017\times (2016^2 -16)\times 2015}{2020 \times (2016^2 -1)}= ...$
Penyelesaian:
$\frac{2017\times (2016^2 -16)\times 2015}{2020 \times (2016^2 -1)}=\frac{2017\times (2016-4)(2016+4)\times 2015}{2020 \times (2016-1)(2016+1}$
$\frac{2017\times (2016^2 -16)\times 2015}{2020 \times (2016^2 -1)}=\frac{2017\times 2012 \times 2020 \times 2015}{2020 \times 2015 \times 2017}$
$\frac{2017\times (2016^2 -16)\times 2015}{2020 \times (2016^2 -1)}=2012$

Contoh 4. (OSK SMA 2013)
Misalkan $a$ dan $b$ adalah bilangan asli dengan $a>b$. Jika $\sqrt{94+2\sqrt{2013}}=\sqrt{a}+ \sqrt{b}$ maka nilai $a-b$ adalah ....
Penyelesaian:
$\sqrt{94+2\sqrt{2013}}=\sqrt{61 + 33 + 2\sqrt{61\times 33}}$
$\sqrt{94+2\sqrt{2013}}=\sqrt{(\sqrt{61})^2+ 2\sqrt{61\times 33} + (\sqrt{33})^2}$
$\sqrt{94+2\sqrt{2013}}=\sqrt{(\sqrt{61}+\sqrt{33})^2}$
$\sqrt{94+2\sqrt{2013}}=\sqrt{61}+\sqrt{33}$
Jadi, $a=61$ dan $b=33$ sehingga diperoleh $a-b=61-33=28$