Hai, readers. Kali ini saya ingin sekali membahas beberapa soal-soal dari berbagai kontes, kompetisi, maupun olimpiade matematika yang pernah diselenggarakan di Indonesia.
Soal 1. Road to ASMOPSS 2018: Matematika SMP
Diketahui bahwa $m$ dan $n$ adalah bilangan bulat positif dan $m+n+mn=76$
Berapakah nilai $m+n$?
A. 12
B. 14
C. 16
D. 18
E. 20
Jawab: C
$m+n+mn=26$
$1+m+n+mn=1+76$
$(1+m)(1+n)=77$
Jika $(1+m)(1+n)=1\times 77$, maka salah satu dari $m$ atau $n$ pastilah 0. Jadi, $(1+m)(1+n)=7\times 11$ sehingga diperoleh $m=6$, $n=10$, dan $m+n=16$.
Soal 2. Road to ASMOPSS 2018: Matematika SMP
Perhatikan bahwa 111.111.111 habis dibagi 9 karena jumlah digit-digitnya habis dibagi 9, dan 1.000.000.001.000.000.001 habis dibagi 3 karena jumlah digit-digitnya habis dibagi 3. Oleh karena itu, $x$ habis dibagi 27.
Jika $x$ adalah sebuah bilangan yang terdiri dari 27 angka 1, berapakah sisanya jika $x$ dibagi 27?
A. 26
B. 22
C. 18
D. 4
E. 0
Jawab: E
$x=111.111.111.111.111.111.111.111.111$
$x=111.111.111\times (1.000.000.000.000.000.000+1.000.000.000+1)$
$x=111.111.111\times (1.000.000.001.000.000.001)$
Perhatikan bahwa 111.111.111 habis dibagi 9 karena jumlah digit-digitnya habis dibagi 9, dan 1.000.000.001.000.000.001 habis dibagi 3 karena jumlah digit-digitnya habis dibagi 3. Oleh karena itu, $x$ habis dibagi 27.
(Cr: Akal)
Soal 3. LMNAS 29 UGM:Babak Penyisihan SMA
Misalkan $N=(1!)^3+(2!)^3+...+(2018!)$ . Jika tiga digit terakhir dari N adalah $\overline{abc}$, maka nilai $a+b+c$ adalah ....
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
E. 13
Jawab: E
Perhatikan bahwa 3 digit terakhir dari $5!$, $6!$, hingga $ 2018!$ adalah 000 sehingga ntuk menentukan 3 digit terakhir dari N cukup kita hanya perlu memperhatikan tiga digit terakhir dari $1$, $2!$, $3!$, dan $4!$, yaitu $001+008+216+824=1049$. Jadi, $\overline{abc}=049$ dan $a+b+c=0+4+9=13$
