Dalil Proyeksi (Projection Theorem)

Proyeksi Garis
Proyeksi garis merupakan garis yang diproyeksikan pada suatu garis lainnya atau pada bidang tertentu. Proyeksi suatu garis adalah garis yang diperoleh dengan cara menarik setiap titik pada garis tersebut tegak lurus dengan garis lainnya. Pada gambar berikut, proyeksi garis AB pada garis CD adalah A'B'.

Dalil Proyeksi
Dalil proyeksi menyatakan bahwa pada $\triangle ABC$, proyeksi garis AB pada garis BC yaitu BD dapat dinyatakan dengan
i) $\angle ABC$ lancip

$AC^2=AB^2+BC^2-2BC\cdot BD$

ii) $\angle ABC$ tumpul

$AC^2=AB^2+BC^2+2BC\cdot BD$

Pembuktian:
i) $\angle ABC$ lancip
Misalkan panjang $AB=c$, $BC=a$, $AC=a$, $AD=t$, dan proyeksi AB pada BC yaitu $BD=p$ sehingga dapat dinyatakan bahwa $CD=a-p$

Perhatikan $\triangle ABD$, dengan teorema Pythagoras diperoleh
$AD^2=AB^2-AD^2$
$t^2=c^2-p^2$ .......(1)

Perhatikan $\triangle ACD$
$AD^2=AC^2-CD^2$
$t^2=b^2-(a-p)^2$.......(2)

Substitusikan persamaan (1) ke (2)
$c^2-p^2=b^2-(a-p)^2$
$c^2-p^2=b^2-(a^2-2ap+p^2)$
$c^2-p^2=b^2-a^2+2ap-p^2$
$b^2=a^2+c^2-2ap$
$AC^2=AB^2+BC^2-2BC\cdot BD. $

ii) $\angle ABC$ Tumpul
Misalkan panjang $AB=c$, $BC=a$, $AC=a$, $AD=t$, dan proyeksi AB pada BC yaitu $BD=p$ sehingga dapat dinyatakan bahwa $CD=a+p$

Perhatikan $\triangle ABD$, dengan teorema Pythagoras diperoleh
$AD^2=AB^2-AD^2$
$t^2=c^2-p^2$ .......(1)

Perhatikan $\triangle ACD$
$AD^2=AC^2-CD^2$
$t^2=b^2-(a-p)^2$.......(2)

Substitusikan persamaan (1) ke (2)
$c^2-p^2=b^2-(a+p)^2$
$c^2-p^2=b^2-(a^2+2ap+p^2)$
$c^2-p^2=b^2-a^2-2ap-p^2$
$b^2=a^2+c^2+2ap$
$AC^2=AB^2+BC^2+2BC\cdot BD.$

Dapat juga diunduh di sini.

Dalil Stewart (Stewart's Theorem)

Steward menyebutkan bahwa pada suatu segitiga ABC dengan titik D berada pada garis AB, maka berlaku
Stewart's Theorem states that in a triangle ABC which D is on segment AB, then 

$AD^{2}\cdot BC=AB^{2}\cdot CD+AC^{2}\cdot BD-BD\cdot CD\cdot BC$

atau (or)

$d^{2}\cdot a=b^{2}\cdot m+c^{2}\cdot n-m\cdot n\cdot a$

Pembuktian (Prove)

Dalam pembuktian ini, akan digunakan garis bantu AP yaitu $\triangle ABC$ yang ditarik tegak lurus garis BC
In this prove, we will draw segment AP which is the altitude of $\triangle ABC$ from A and perpendicular to BC.

Misalkan, $AP=t$ dan $BP=x$, sehingga $BD=m-x$
Let, $AP=t$ dan $BP=x$, so $BD=m-x$  Pada $\triangle ABP$, dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh
From $\triangle ABP$, with Pythagoras Theorem, then

$t^2=c^2-x^2$.......$(1)$

Pada $\triangle ADP$, dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh
From $\triangle ADP$, with Pythagoras Theorem, then

$t^2=d^2-(m-x)^2$.......$(2)$

Pada $\triangle ACP$, dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh
From $\triangle ACP$, with Pythagoras Theorem, then

$t^2=b^2-(n+(m-x))^2$.......$(3)$

Dari persaman (1) dan (2), diperoleh
From $equation (1)$ and $(2)$, with Pythagoras Theorem, then

$c^2-x^2=d^2-(m-x)^2$
$c^2-x^2=d^2-(m^2-2mx+x^2)$
$c^2-x^2=d^2-m^2+2mx-x^2$
$d^2=c^2+m^2-2mx$
-------------------------$\times a$
$d^{2}a=c^{2}a+m^{2}a-2mxa$
$d^{2}a=c^{2}(m+n)+m^{2}(m+n)-2mx(m+n)$
$d^{2}a=c^{2}m+c^{2}n+m^{3}+m^{2}n-2m^{2}x-2mnx$ .......$(4)$

Dari persaman (1) dan (2), diperoleh
From equation $(1)$ and $(2)$, with Pythagoras Theorem, then

$c^2-x^2=b^2-(n+(m-x))^2$
$c^2-x^2=b^2-(n^2+2n(m-x)+(m-x)^2)$
$c^2-x^2=b^2-n^2-2n(m-x)-(m^2-2mx+x^2)^2$
$c^2-x^2=b^2-n^2-2mn+2nx-m^2+2mx-x^2$
$c^2=b^2-n^2-2mn+2nx-m^2+2mx$
---------------------------------------------$\times m$
$c^{2}m=b^{2}m-n^{2}m-2m^{2}n+2mnx-m^{3}+2m^{2}x$ .......$(5)$

Substitusikan persamaan (5) ke (4),
Substitute equation $(5)$ to $(4)$

$d^{2}a=(b^{2}m-n^{2}m-2m^{2}n+2mnx-m^{3}+2m^{2}x)+c^{2}n+m^{3}+m^{2}n-2m^{2}x-2mnx$ $d^{2}a=b^{2}m+c^{2}n-n^{2}m-m^{2}n$
$d^{2}a=b^{2}m+c^{2}n-mn(n+m)$
$d^{2}a=b^{2}m+c^{2}n-mna.(Q.E.D)$

Garis-Garis Istimewa pada Segitiga (Special Segments Within A Triangle)

Garis Tinggi (Altitude)

Garis tinggi pada suatu segitiga merupakan garis yang ditarik dari suatu titik sudut pada segitiga dan tegak lurus dengan sisi yang ada di hadapan titik sudut tersebut.

Altitude within a triangle is a segment drawn from a vertex and perpendicular to the segment in the opposite.

 Pada segitiga disamping, AD, BE, dan CF merupakan garis tinggi dari segitiga ABC. AD ditarik dari titik sudut A dan tegak lurus terhadap garis BC yang berhadapan dengan A. BE ditarik dari titik sudut B dan tegak lurus terhadap garis AC yang berhadapan dengan B. CF ditarik dari titik sudut C dan tegak lurus terhadap garis AB yang berhadapan dengan C.

In the triangle above, AD, BE, and CF are altitudes within triangle ABC. AD is drawn from vertex A and perpendicular to BC which is opposite to A. BE is drawn from vertex E and perpendicular to AC which is opposite to B. CF is drawn from vertex C and perpendicular to CF which is opposite to C.

Garis Bagi (Angle Bisector)

Garis bagi pada suatu segitiga adalah garis yang ditarik dari titik sudut segitiga dan membagi titik sudut itu menjadi dua bagian yang sama besar.

Angle bisector is a segment (it can be a ray) within triangle which is drawn from any vertices to the segment in the opposite and form two congruent angles.

Perhatikan gambar segitiga di atas.  AD merupakan garis bagi yang ditarik dari titik A dan membagi sudut BAC menjadi dua bagian yang sama besar, yaitu sudut BAD dan sudut CAD.  BE merupakan garis bagi yang ditarik dari titik B dan membagi sudut ABC menjadi dua sudut yang sama besar yaitu sudut ABE dan sudut CBE. CF juga merupakan garis bagi, yaitu yang ditarik dari titik C dan membagi sudut ACB menjadi dua sudut sama besar yaitu sudut ACF dan BCF. 

Look at the triangle besides, AD is an angle bisector which is drawn from A and bisects angle BAC into two congruent angles, BAD and CAD. BE is an angle bisector which is drawn from B and bisects angle ABC into two congruent angles, ABE and CBE. CF is an angle bisector which is drawn from C and bisects angle ACB into two congruent angles, ACF and BCF.

Garis Berat (Median)

Garis berat adalah garis yang ditarik dari salah satu titik sudut segitiga ke titik tengah dari sisi yang ada di hadapannya.

Median is a segment within triangle which is drawn from any vertices of the triangle to the midpoint of segments in the opposite.

Pada gambar segitiga di atas, AD merupakan garis berat yang ditarik dari titik A ke titik tengah garis BC yang ada di depannya, titik D merupakan titik tengah garis BC. BE merupakan garis berat yang ditarik dari titik B ke titik tengah garis AC yang ada di depannya, titik E merupakan titik tengah garis AC. CF merupakan garis berat yang ditarik dari titik C ke titik tengah garis AB yang ada di depannya, titik F merupakan titik tengah garis AB.

In the picture above, AD is a median of triangle ABC which is drawn from point A to point D, the midpoint of BC. BE is a median of triangle ABC which is drawn from point B to point E, the midpoint of AC. CF is a median of triangle ABC which is drawn from C to F or the midpoint of AB.

Garis Sumbu (Perpendicular Bisector)

Garis sumbu adalah garis yang ditarik dari titik tengah suatu garis pada segitiga dan tegak lurus dengan garis tersebut.

Perpendicular bisector is a line which bisects a segment of a triangle into two equal parts and perpendicular to the segment.

Pada gambar di atas, garis k melalui titik tengah garis AB dan tegak lurus garis AB. garis l melalui titik tengah garis BC dan tegak lurus garis BC. garis m melalui titik tengah garis AC dan tegak lurus garis AC. 

In the picture above, line k is a perpendicular bisector which bisects segment AB into two equal parts and perpendicular to it. Line l is a perpendicular bisector which bisects segment BC into two equal parts and perpendicular to it. Line m is a perpendicular bisector which bisects segment AC and perpendicular to it.