Dalil Proyeksi (Projection Theorem)

Proyeksi Garis
Proyeksi garis merupakan garis yang diproyeksikan pada suatu garis lainnya atau pada bidang tertentu. Proyeksi suatu garis adalah garis yang diperoleh dengan cara menarik setiap titik pada garis tersebut tegak lurus dengan garis lainnya. Pada gambar berikut, proyeksi garis AB pada garis CD adalah A'B'.

Dalil Proyeksi
Dalil proyeksi menyatakan bahwa pada $\triangle ABC$, proyeksi garis AB pada garis BC yaitu BD dapat dinyatakan dengan
i) $\angle ABC$ lancip

$AC^2=AB^2+BC^2-2BC\cdot BD$

ii) $\angle ABC$ tumpul

$AC^2=AB^2+BC^2+2BC\cdot BD$

Pembuktian:
i) $\angle ABC$ lancip
Misalkan panjang $AB=c$, $BC=a$, $AC=a$, $AD=t$, dan proyeksi AB pada BC yaitu $BD=p$ sehingga dapat dinyatakan bahwa $CD=a-p$

Perhatikan $\triangle ABD$, dengan teorema Pythagoras diperoleh
$AD^2=AB^2-AD^2$
$t^2=c^2-p^2$ .......(1)

Perhatikan $\triangle ACD$
$AD^2=AC^2-CD^2$
$t^2=b^2-(a-p)^2$.......(2)

Substitusikan persamaan (1) ke (2)
$c^2-p^2=b^2-(a-p)^2$
$c^2-p^2=b^2-(a^2-2ap+p^2)$
$c^2-p^2=b^2-a^2+2ap-p^2$
$b^2=a^2+c^2-2ap$
$AC^2=AB^2+BC^2-2BC\cdot BD. $

ii) $\angle ABC$ Tumpul
Misalkan panjang $AB=c$, $BC=a$, $AC=a$, $AD=t$, dan proyeksi AB pada BC yaitu $BD=p$ sehingga dapat dinyatakan bahwa $CD=a+p$

Perhatikan $\triangle ABD$, dengan teorema Pythagoras diperoleh
$AD^2=AB^2-AD^2$
$t^2=c^2-p^2$ .......(1)

Perhatikan $\triangle ACD$
$AD^2=AC^2-CD^2$
$t^2=b^2-(a-p)^2$.......(2)

Substitusikan persamaan (1) ke (2)
$c^2-p^2=b^2-(a+p)^2$
$c^2-p^2=b^2-(a^2+2ap+p^2)$
$c^2-p^2=b^2-a^2-2ap-p^2$
$b^2=a^2+c^2+2ap$
$AC^2=AB^2+BC^2+2BC\cdot BD.$

Dapat juga diunduh di sini.