Di sekolah, kita belajar berbagai jenis bilangan. Seperti,
- Bilangan cacah 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....;
- Bilangan asli 1, 2, 3, 4, 5, ....;
- Bilangan positif $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$, $1$, $\frac{3}{2}$, $\sqrt{5}$, $\pi$, ....;
- Bilangan negatif; bilangan rasional; bilangan irasional; bilangan real; dan lain-lain.
Nah, kali ini kita akan memahami lebih dalam mengenai bilangan asli (a.k.a. bilangan natural).
Tulisan kali ini terinspirasi dari salah satu buku tulisan dari Pak Wono Setya Budhi, salah satu dosen di ITB, yang berjudul Teori Bilangan untuk SMA.
Dalam buku tersebut, dijelaskan bahwa terdapat aksioma yang menyebutkan sifat-sifat bilangan asli. Aksioma tersebut adalah aksioma Peano. Peano menyatakan bahwa bilangan asli ($\mathbb{N}$, re: natural numbers) memiliki properti sebagai berikut.
Dalam buku tersebut, dijelaskan bahwa terdapat aksioma yang menyebutkan sifat-sifat bilangan asli. Aksioma tersebut adalah aksioma Peano. Peano menyatakan bahwa bilangan asli ($\mathbb{N}$, re: natural numbers) memiliki properti sebagai berikut.
(i) Bilangan natural memiliki bilangan istimewa yang kita kenal dengan "1" atau "satu"
(ii) Untuk setiap bilangan natural $n$ ($n \in \mathbb{N}$) terdapat $n^{*}$ sebagai pengikut dari $n$
(iii) Untuk setiap bilangan natural $n$ ($n \in \mathbb{N}$) maka $n^{*} \neq n$
(iv) Jika $m, n \in \mathbb{N}$ adalah elemen bilangan natural dan $m^{*}=n^{*}$
(v) Untuk setiap $K \subset \mathbb{N}$, dimana
(a) $1\in K$
(b) Jika $k \in K$, maka $k^{*} \in K$
maka $K=\mathbb{N}$
Continued...
(iii) Untuk setiap bilangan natural $n$ ($n \in \mathbb{N}$) maka $n^{*} \neq n$
(iv) Jika $m, n \in \mathbb{N}$ adalah elemen bilangan natural dan $m^{*}=n^{*}$
(v) Untuk setiap $K \subset \mathbb{N}$, dimana
(a) $1\in K$
(b) Jika $k \in K$, maka $k^{*} \in K$
maka $K=\mathbb{N}$
Continued...
No comments:
Post a Comment