Teorema Menelaus

Pada $\triangle ABC$,  titik D, E, dan F berada pada masing-masing sisi segitiga tersebut (perpanjang jika perlu) seperti pada gambar berikut.

Seorang matematikawan yang berasal dari Alexandria, yaitu Menelaus menyatakan hubungan antara garis-garis pada segitiga tersebut yaitu titik $D$, $E$, dan $F$ segaris jika dan hanya jika

$\frac{AF}{BF}\times \frac{BE}{CE}\times \frac{CD}{AD}=1$

Bukti:
Dalam pembuktian ini, akan kita buktikan bahwa jika titik $D$, $E$, dan $F$ segaris maka
$\frac{AF}{BF}\times \frac{BE}{CE}\times \frac{CD}{AD}=1$
Perpanjang garis FD, dan gambarkan titik A', B', dan C' pada FD sedemikian hingga AA', BB', dan CC' tegak lurus garis FD seperti pada gambar berikut.

Berdasarkan gambar tersebut, diperoleh bahwa $\triangle AFA'$ sebangun dengan $\triangle BFB'$, $\triangle BEB'$ sebangun dengan $\triangle CEC'$, dan $\triangle CDC'$ sebangun dengan $\triangle ADA''$. Dengan demikian, dapat diperoleh bahwa

$\frac{AF}{BF}=\frac{AA'}{BB'}$, $\frac{BE}{CE}=\frac{BB'}{CC'}$, dan $\frac{CD}{AD}=\frac{CC'}{AA'}$

sehingga,

$\frac{AF}{BF}\times \frac{BE}{CE} \times\frac{CD}{AD}=\frac{AA'}{BB'}\times \frac{CC'}{AA'}=1$.

Soal.
Pada segitiga PQR di atas, $QM:MR=3:5$, dan $RN:NP=4:3$. Jika QLN dan PLM merupakan suatu garis lurus, maka perbandingan antara panjang ruas garis LN dengan ruas garis QL.

Pembahasan:
Dengan menggunakan Teorema Menelaus, maka diperoleh bahwa

$\frac{RP}{NP}\times \frac{NL}{QL}\times \frac{QM}{RM}=1$

Kita tahu bahwa $RN:NP=4:3$, maka $RP:NP=(4+3):3=7:3$. Dengan demikian,

$\frac{RP}{NP}\times \frac{NL}{QL}\times \frac{QM}{RM}=1$

$\frac{7}{3}\times \frac{NL}{QL}\times \frac{3}{5}=1$

$\frac{NL}{QL}\times \frac{7}{5}=1$

$\frac{NL}{QL}=\frac{5}{7}$.

Jadi, $LN:QL=5:7$ .