Logaritma merupakan invers (kebalikan) dari eksponen.
Jika $a^b=c$, maka dapat juga dinyatakan dengan $b=^{a}\log{c}$
Jika $a^b=c$, maka dapat juga dinyatakan dengan $b=^{a}\log{c}$
Sifat 1. $^{a}\log{1}=0$
Bukti.
Kita tahu bahwa $a^0=1$, jika diubah menjadi logaritma maka diperoleh $^a\log{1}=0$. (Terbukti)
Bukti.
Kita tahu bahwa $a^0=1$, jika diubah menjadi logaritma maka diperoleh $^a\log{1}=0$. (Terbukti)
Sifat 2. $^{a}\log{a}=1$
Bukti.
Kita tahu bahwa $a^1=a$, jika diubah menjadi logaritma maka diperoleh $^a\log{a}=1$. (Terbukti).
Bukti.
Kita tahu bahwa $a^1=a$, jika diubah menjadi logaritma maka diperoleh $^a\log{a}=1$. (Terbukti).
Sifat 3. $^{a}\log{b}+^a\log{c}=^a\log{bc}$
Bukti.
Misalkan:
$^{a}\log{b}=x \leftrightarrow a^x=b$
$^{a}\log{c}=y \leftrightarrow a^y=c$
Dengan sifat eksponen, diperoleh:
$a^{x}\cdot a^{y}=a^{x+y}$
$\leftrightarrow x+y=^a\log{(a^{x}\cdot a^{y})}$ (setelah diubah ke bentuk logaritma)
$\leftrightarrow ^{a}\log{b}+^{a}\log{c}=^a\log{bc}$ (dikembalikan ke bentuk pemisalan)
(Terbukti).
Bukti.
Misalkan:
$^{a}\log{b}=x \leftrightarrow a^x=b$
$^{a}\log{c}=y \leftrightarrow a^y=c$
Dengan sifat eksponen, diperoleh:
$a^{x}\cdot a^{y}=a^{x+y}$
$\leftrightarrow x+y=^a\log{(a^{x}\cdot a^{y})}$ (setelah diubah ke bentuk logaritma)
$\leftrightarrow ^{a}\log{b}+^{a}\log{c}=^a\log{bc}$ (dikembalikan ke bentuk pemisalan)
(Terbukti).
Sifat 4. $^{a}\log{b}-^a\log{c}=^a\log{\frac{b}{c}}$
Bukti.
Misalkan:
$^{a}\log{b}=x \leftrightarrow a^x=b$
$^{a}\log{c}=y \leftrightarrow a^y=c$
Dengan sifat eksponen, diperoleh:
$\frac{a^{x}}{a^{y}}=a^{x-y}$
$\leftrightarrow x-y=^a\log{(\frac{a^{x}}{a^{y}})}$ (setelah diubah ke bentuk logaritma)
$\leftrightarrow ^{a}\log{b}-^{a}\log{c}=^a\log{\frac{b}{c}}$ (dikembalikan ke bentuk pemisalan)
(Terbukti).
Bukti.
Misalkan:
$^{a}\log{b}=x \leftrightarrow a^x=b$
$^{a}\log{c}=y \leftrightarrow a^y=c$
Dengan sifat eksponen, diperoleh:
$\frac{a^{x}}{a^{y}}=a^{x-y}$
$\leftrightarrow x-y=^a\log{(\frac{a^{x}}{a^{y}})}$ (setelah diubah ke bentuk logaritma)
$\leftrightarrow ^{a}\log{b}-^{a}\log{c}=^a\log{\frac{b}{c}}$ (dikembalikan ke bentuk pemisalan)
(Terbukti).
Sifat 5. $^{a}\log{b^m}=m\cdot ^{a}\log{b}$
Bukti.
$^{a}\log{b^m}=^{a}\log({\underbrace{b\cdot b\cdot b\cdot ... \cdot b}_{m-times}})$
$^{a}\log{b^m}=\underbrace{^{a}\log{b} + ^{a}\log{b}+^{a}\log{b} ... + ^{a}\log{b}}_{m-times}$ (diperoleh dengan menggunakan sifat 3.
$^{a}\log{b^m}=m\cdot ^{a}\log{b}$ (diperoleh dengan menggunakan definisi perkalian sebagai penjumlahan berulang). (Terbukti).
Bukti.
$^{a}\log{b^m}=^{a}\log({\underbrace{b\cdot b\cdot b\cdot ... \cdot b}_{m-times}})$
$^{a}\log{b^m}=\underbrace{^{a}\log{b} + ^{a}\log{b}+^{a}\log{b} ... + ^{a}\log{b}}_{m-times}$ (diperoleh dengan menggunakan sifat 3.
$^{a}\log{b^m}=m\cdot ^{a}\log{b}$ (diperoleh dengan menggunakan definisi perkalian sebagai penjumlahan berulang). (Terbukti).
Sifat 6. $^{a^n}\log{b^m}=\frac{m}{n} \cdot ^{a}\log{b}$
Bukti.
Misalkan,
$^{a^n}\log{b^m}=x$, maka
$b^m=(a^n)^x$
$b^m=a^xn$
$(b^m)^{\frac{1}{n}}=(a^xn)^{\frac{1}{n}}$
$b^{\frac{m}{n}}=a^x$
$x=^a \log{b^{\frac{m}{n}}}$
$x=\frac{m}{n} \cdot ^{a}\log{b}$
Jadi, $^{a^n}\log{b^m}=\frac{m}{n} \cdot ^{a}\log{b}$
(Terbukti).
Bukti.
Misalkan,
$^{a^n}\log{b^m}=x$, maka
$b^m=(a^n)^x$
$b^m=a^xn$
$(b^m)^{\frac{1}{n}}=(a^xn)^{\frac{1}{n}}$
$b^{\frac{m}{n}}=a^x$
$x=^a \log{b^{\frac{m}{n}}}$
$x=\frac{m}{n} \cdot ^{a}\log{b}$
Jadi, $^{a^n}\log{b^m}=\frac{m}{n} \cdot ^{a}\log{b}$
(Terbukti).
Sifat 7. $^{a}\log{b}=\frac{1}{^b \log{a}}$
Bukti.
Misalkan:
$^{a}\log{b}=x \leftrightarrow a^x=b \leftrightarrow (a^x)^{\frac{1}{x}}=b^{\frac{1}{x}} \leftrightarrow a=b^{\frac{1}{x}}$
$a=b^{\frac{1}{x}} \leftrightarrow \frac{1}{x}=^b \log{a} \leftrightarrow x=\frac{1}{^b \log{a}}$
sehingga diperoleh $^{a}\log{b}=\frac{1}{^b \log{a}}$
(Terbukti).
Bukti.
Misalkan:
$^{a}\log{b}=x \leftrightarrow a^x=b \leftrightarrow (a^x)^{\frac{1}{x}}=b^{\frac{1}{x}} \leftrightarrow a=b^{\frac{1}{x}}$
$a=b^{\frac{1}{x}} \leftrightarrow \frac{1}{x}=^b \log{a} \leftrightarrow x=\frac{1}{^b \log{a}}$
sehingga diperoleh $^{a}\log{b}=\frac{1}{^b \log{a}}$
(Terbukti).
Sifat 8. $^{a}\log{b}=\frac{^m \log{b}}{^m \log{a}}$
Bukti.
$^{a}\log{b}=x$, maka
$a^x=b$
$^m \log{a^x}=^m \log{b}$
$x\cdot ^m \log{a}= ^m \log{b}$
$x=\frac{^m \log{b}}{^m \log{a}}$
$^{a}\log{b}=\frac{^m \log{b}}{^m \log{a}}$
(Terbukti).
Bukti.
$^{a}\log{b}=x$, maka
$a^x=b$
$^m \log{a^x}=^m \log{b}$
$x\cdot ^m \log{a}= ^m \log{b}$
$x=\frac{^m \log{b}}{^m \log{a}}$
$^{a}\log{b}=\frac{^m \log{b}}{^m \log{a}}$
(Terbukti).
Sifat 9. $a^{^{a}\log{b}}=b$
Bukti.
Misalkan:
$^{a}\log{b}=x$ maka $a^x=b$
$a^{^{a}\log{b}}=a^x=b$
(Terbukti).
Bukti.
Misalkan:
$^{a}\log{b}=x$ maka $a^x=b$
$a^{^{a}\log{b}}=a^x=b$
(Terbukti).
Baca juga artikel berikut:
Latihan Soal dan Pembahasan Logaritma
Soal dan Pembahasan Logaritma: Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri
Pada hubungan eksponen dan logaritma, seharusnya a pangkat b = c berlaku b = log c basis a. Tertulis b = log b basis a, mohon diperbaiki.
ReplyDeleteTerimakasih sarannya pak Aya ^_^
Delete