Soal dan Pembahasan Lingkaran

Berikut ini beberapa latihan soal dan pembahasan materi lingkaran kelas VIII SMP.

Soal 1.
Perhatikan gambar di bawah ini.

Tentukan unsur-unsur yang dapat kita temukan pada gambar tersebut.
Pembahasan:
a. Titik pusat: Titik $A$.
b. Jari-jari lingkaran: $OA$ dan $OB$.
c. Tali busur: $AB$.
d. Apotema: $OC$.
e. Busur: $\overparen{AB}$.
f. Juring:daerah yang dibatasi garis $OA$, $\overparen {AB}$, dan $OB$.
g. Tembereng: daerah yang dibatasi oleh $AB$ dan $\overparen {AB}$.

Soal 2.
Hitunglah keliling dari lingkaran dengan jari-jari berikut.
a. 35 cm
b. 20 cm
Pembahasan:
a. diketahui : $r=35\ cm$
    ditanya: keliling = ....
    jawab :
           Keliling $=2\pi r= 2 \times \frac{22}{7} \times 35 = 2 \times 22 \times 5 =220 cm$
b. diketahui : $r=20\ cm$
    ditanya: keliling = ....
    jawab :
           Keliling $=2\pi r= 2 \times 3,14 \times 20= 6,28 \times 20 =125,6 cm$

Soal 3.
Lingkaran A memiliki keliling 4 cm lebihnya dari lingkaran B. Tentukan selisih jari-jari antara lingkaran A dan lingkaran B.
Pembahasan:
Diketahui: keliling A = 4 + keliling B
Ditanya: $r_A - r_B= ....$
Pembahasan:
       Keliling A = 4 + keliling B
       $2 \pi r_A = 4 + 2\pi r_B$
       $2 \pi r_A - 2\pi r_B  = 4$
       $2 \pi (r_A - r_B)= 4$
       $(r_A - r_B) = \frac{4}{2\pi}$
       $(r_A - r_B) = \frac{2}{\pi}$

Soal 4.
Diameter sebuah roda yang berputar adalah 0,56 meter. Tentukan banyaknya putaran roda tersebut pada sebuah jalan dengan panjang 880 meter.
Pembahasan:
Diketahui: d = 0,56 m.
                  Panjang jalan = 880 m.
Ditanya : banyak putaran roda.
Pembahasan:
$r=\frac{d}{2}=\frac{0,56}{2}=0,28 m =\frac{28}{100}$.
Keliling roda=$2\pi r =2 \times \frac{22}{7} \times \frac{28}{100}=2 \times 22 \times \frac{4}{100}=1,76\ m$.
Banyak putaran roda = $\frac{panjang\ jalan}{keliling\ roda}=\frac{880}{1,76}=500$ putaran.

Soal 5.
Hitunglah luas dari lingkaran dengan jari-jari berikut.
a. 14 cm
b. 10 cm
Pembahasan:
a. diketahui : $r=14\ cm$
    ditanya: luas = ....
    jawab :
           Luas $=\pi r^2= \frac{22}{7} \times 14 \times 14 = 22 \times 2 \times 14= 676\ cm$
b. diketahui : $r=10\ cm$
    ditanya: luas = ....
    jawab :
           Luas $=\pi r^2=3,14 \times 10 \times 10= 3,14\times 100=314\ cm$

Soal 6.
Pada lingkaran di bawah ini, jarak titik A ke B dan titik B ke C adalah 7 cm. Tentukan luas area yang diarsir.

Pembahasan:
Perhatikan bahwa area yang diarsir adalah area lingkaran besar tanpa area lingkaran kecil.
Diketahu: $r_kecil = 7\ cm$
                 $r_besar = 14\ cm$
Ditanya : luas daerah yang diarsir = ....
Luas lingkaran kecil = $\pi r^2= \frac{22}{7} \times 7 \times 7 = 22 \times 7 =154\ cm^2$
Luas lingkaran besar = $\pi r^2= \frac{22}{7} \times 14 \times 14 = 22 \times 2 \times 14 =616\ cm^2$

Soal 7.
Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar berikut ini jika diketahui panjang persegi tersebut adalah 20 cm.

Pembahasan:
Perhatikan bahwa area yang diarsir ungu adalah area persegi tanpa area lingkaran.
Diketahu: $s = 20\ cm$
                 $r = 10\ cm$
Ditanya : luas daerah yang diarsir = ....
Luas persegi= $s^2=20^2 = 400\ cm^2$
Luas lingkaran = $\pi r^2= 3,14 \times 10 \times 10 = 314\ cm^2$
Luas daerah yang diarsir ungu = luas persegi - luas lingkaran $= 400 - 314 = 86\ cm^2$

Soal 8.
Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar berikut ini.

Pembahasan:
Perhatikan bahwa gambar tersebut terdiri dari 3 buah lingkaran yaitu lingkaran besar yang berjari-jari 14 cm, lingkaran sedang yang berjari-jari 7 cm, dan lingkaran kecil yang berjari-jari 3,5 cm.
Daerah yang diarsir sendiri adalah gambar lingkaran besar dengan lingkaran kecil, tanpa lingkaran sedang.
$L_{Lingkaran\ besar}=\pi r^2= \frac{22}{7}\times 14 \times 14= 616 cm^2$
$L_{Lingkaran\ sedang}=\pi r^2= \frac{22}{7}\times 7 \times 7=  154 cm^2$

$L_{Lingkaran\ kecil}=\pi r^2= \frac{22}{7}\times 3,5 \times 3,5= 38.5 cm^2$
Jadi,
$L_{daerah\ yang\ diarsir}=616+38.5-154=500.5$

Soal 9.
Pak Adi membuat taman berbentuk lingkaran yang jari-jari 21 m. Keliling taman akan ditanami pohon dengan jarak masing-masing pohon 3 m maka banyak pohon yang dibutuhkan ....
Pembahasan:
Keliling = $2\pi r = 2\cdot \frac{22}{7} \cdot 21 = 2 \cdot 22 \cdot 3 = 132 m$
Banyak pohon= $132 m : 3= 44 pohon $

Teorema Menelaus

Pada $\triangle ABC$,  titik D, E, dan F berada pada masing-masing sisi segitiga tersebut (perpanjang jika perlu) seperti pada gambar berikut.

Seorang matematikawan yang berasal dari Alexandria, yaitu Menelaus menyatakan hubungan antara garis-garis pada segitiga tersebut yaitu titik $D$, $E$, dan $F$ segaris jika dan hanya jika

$\frac{AF}{BF}\times \frac{BE}{CE}\times \frac{CD}{AD}=1$

Bukti:
Dalam pembuktian ini, akan kita buktikan bahwa jika titik $D$, $E$, dan $F$ segaris maka
$\frac{AF}{BF}\times \frac{BE}{CE}\times \frac{CD}{AD}=1$
Perpanjang garis FD, dan gambarkan titik A', B', dan C' pada FD sedemikian hingga AA', BB', dan CC' tegak lurus garis FD seperti pada gambar berikut.

Berdasarkan gambar tersebut, diperoleh bahwa $\triangle AFA'$ sebangun dengan $\triangle BFB'$, $\triangle BEB'$ sebangun dengan $\triangle CEC'$, dan $\triangle CDC'$ sebangun dengan $\triangle ADA''$. Dengan demikian, dapat diperoleh bahwa

$\frac{AF}{BF}=\frac{AA'}{BB'}$, $\frac{BE}{CE}=\frac{BB'}{CC'}$, dan $\frac{CD}{AD}=\frac{CC'}{AA'}$

sehingga,

$\frac{AF}{BF}\times \frac{BE}{CE} \times\frac{CD}{AD}=\frac{AA'}{BB'}\times \frac{CC'}{AA'}=1$.

Soal.
Pada segitiga PQR di atas, $QM:MR=3:5$, dan $RN:NP=4:3$. Jika QLN dan PLM merupakan suatu garis lurus, maka perbandingan antara panjang ruas garis LN dengan ruas garis QL.

Pembahasan:
Dengan menggunakan Teorema Menelaus, maka diperoleh bahwa

$\frac{RP}{NP}\times \frac{NL}{QL}\times \frac{QM}{RM}=1$

Kita tahu bahwa $RN:NP=4:3$, maka $RP:NP=(4+3):3=7:3$. Dengan demikian,

$\frac{RP}{NP}\times \frac{NL}{QL}\times \frac{QM}{RM}=1$

$\frac{7}{3}\times \frac{NL}{QL}\times \frac{3}{5}=1$

$\frac{NL}{QL}\times \frac{7}{5}=1$

$\frac{NL}{QL}=\frac{5}{7}$.

Jadi, $LN:QL=5:7$ .

Soal dan Pembahasan Faktorisasi Bentuk Aljabar

Soal 1.
Tentukan banyak suku dan suku-suku sejenis pada bentuk aljabar berikut ini.
a. $5a+7a-3a$
b. $4x+10y-9x+12xy$
c. $12a^2-8b+16a^2$
d. $6x^3+2y^2+y^2-5x^3$

Penyelesaian:
a. banyak suku = 3, suku-suku sejenis: $5a$, $7a$, dan $3a$.
b. banyak suku = 4, suku-suku sejenis yaitu $4x$ dan $-9x$.
c. banyak suku = 3, suku-suku sejenis yaitu $12a^2$ dan $16a^2$.
d. banyak suku = 4, suku-suku sejenis yaitu $6x^3$ dan $-5x^3$, $2y^2$ dan $y^2$.

Soal 2.
Koefisien untuk variabel $a^2$ dan $ab^2$ dari bentuk aljabar $2a^2-4a+4ab^2-3b^2$ berturut-turut adalah ....
Pembahasan:
Pada bentuk aljabar tersebut bilangan yang ada di depan $a^2$ adalah 2 sehingga koefisien $a^2$ adalah 2, sedangkan bilangan yang ada di depan $ab^2$ adalah 4 sehingga koefisien $ab^2$ adalah 4. Jadi, Koefisien untuk variabel $a^2$ dan $ab^2$ dari bentuk aljabar $2a^2-4a+4ab^2-3b^2$ berturut-turut adalah 2 dan 4.

Soal 3. 
Bentuk paling sederhana dari $7x-4y+6-4x+y-6$ adalah ....
Pembahasan:
$7x-4y+6-4x+y-6=7x-4x-4y+y+6-6=3x-3y$.

Soal 4.
Bentuk paling sederhana dari $9-4(2x+5)$ adalah ....
Pembahasan:
$9-4(2x+5)=9-8x-20=-8x+9-20=-8x-11$.

Soal 5.
Jumlah dari $5ab+2bc-d$ dan $3ab-2bc+6d$ adalah ....
Pembahasan:
$(5ab+2bc-d)+(3ab-2bc+6d)=5ab+3ab+2bc-2bc-d+6d=8ab+5d$.

Soal 6.
Hasil pengurangan $-2(3p+2)$ dari $2p+6$ adalah ....
Pembahasan:
$(2p+6)-(-2(3p+2))=(2p+6)+2(3p+2)=2p+6+6p+4=2p+6p+6+4=8p+10$.

Soal 7.
Tentukan hasil perkalian dari bentuk aljabar berikut.
a. $2(x+4)$
b. $-3(a-2b)$
c. $5(2x+3y)$
d. $-2a(a+4b)$
e. $4a^2(-a+2b)$
f. $2xy(x-4)$
g. $-p^2(p^2-3p)$
h. $\frac{1}{2}(4x-6y)$
Pembahasan:
Dalam mengerjakan soal ini, gunakan sifat distributif bentuk aljabar.
a. $2(x+4)= 2x+8$
b. $-3(a-2b)=-3a+6b$
c. $5(2x+3y)=10x+15y$
d. $-2a(a+4b)=-2a^2-8ab$
e. $4a^2(-a+2b)=-4a^3+8a^2b$
f. $2xy(x-4)=2x^2y-8xy$
g. $-p^2(p^2-3p)=-p^4+3p^3$
h. $\frac{1}{2}(4x-6y)=2x-3y$


Soal 8.
Hasil dari $(x+y)(x-y)$ adalah ....
Pembahasan:
$(x+y)(x-y)=x^2-xy+xy-y^2=x^2-y^2$.

Soal 9.
Hasil dari $(x+y)^2$ adalah ....
Pembahasan:
$(x+y)^2=(x+y)(x+y)=x^2+xy+xy+y^2=x^2+2xy+y^2$.

Soal 10.
Hasil dari $(x-y)^2$ adalah ....
Pembahasan:
$(x-y)^2=(x-y)(x-y)=2=x^2-xy-xy+y^2=x^2-2xy+y^2$.


Soal 11.
Hasil dari $(2x+3y)(x-4y)$ adalah ....
Pembahasan:
$(2x+3y)(x-4y)=2x^2-8xy+3xy-12y^2=2x^2-5xy-12y^2$.

Soal 12.
Hasil dari $(3x^2-2y^2)(4x^2-5y^2)$ adalah ....
Pembahasan:
$(3x^2-2y^2)(4x^2-5y^2)=12x^4-15x^2y^2-8x^2y^2+10y^4=12x^4-23x^2y^2+10y^4$.

Soal 13.
Tentukan hasil pembagian bentuk aljabar berikut ini.
a. $10ab \div 2a $
b. $15a^3b \div 5a^2$
c. $24a^3b \div (-8ab)$
d. $-12a^4b^6 \div 3a^2b^2c$
e. $-p^4q^3 \div (-pq^2r)$
Pembahasan:
a. $10ab \div 2a= 5 b$
b. $15a^3b \div 5a^2=3ab$
c. $24a^3b \div (-8ab)=-3a^2$
d. $-12a^4b^6 \div 3a^2b^2c=\frac{4a^2b^4}{c}$
e. $-p^4q^3 \div (-pq^2r)=\frac{p^3q}{r}$

SMP Kelas 2

Berikut ini beberapa materi yang dipelajari di kelas VIII SMP dengan kurikulum KTSP
1. Memfaktorkan Bentuk Aljabar
    Soal dan Pembahasan Faktorisasi Bentuk Aljabar
2. Fungsi
3. Persamaan Garis
4. Sistem Persamaan Linier Dua Variabel
5. Teorema Pythagoras
6. Lingkaran
7. Bangun Datar
8. Statistika
    Soal dan Pembahasan Statitika
9. Peluang

Tak Terdefinisi atau Tak Tentu

A. Bentuk Tak Terdefinisi
Tak Terdefinisi merupakan bentuk pembagian dari suatu bilangan tak nol dengan bilangan nol. Atau dapat dituliskan sebagai berikut.

$\frac{a}{0}, a \neq 0$

Mengapa dikatakan tak terdefinisi? Nah, misalkan saja bentuk ini mempunyai hasil yaitu suatu bilangan $k$ atau

$\frac{a}{0}=k$

maka

$a=0\times k =0$

Padahal sebelumnya kita sudah mengatakan bahwa a adalah bilangan tak nol. Artinya tidak ada nilai k yang memenuhi. Oleh karena itu, pembagian dari suatu bilangan tak nol dengan nol merupakan bentuk tak terdefinisi.

B. Bentuk Tak Tentu

Bentuk Tak tentu merupakan bentuk perhitungan yang mempunyai banyak hasil, sehingga tidak jelas mana yang merupakan hasil sebenarnya. Contoh yang merupakan bentuk tak tentu yaitu $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, dan $0^0$. Agar lebih jelas, mari kita bahas mengapa $\frac{0}{0}$ merupakan bentuk tak tentu.
Misalkan $a \in \mathbb{R}$ (a adalah suatu bilangan real), sedemikan hingga

$a=\frac{0}{0}$

  

Akibatnya,

$a\times 0 = 0$.

Pertanyaannya, berapakah nilai $a$ yang mungkin? tentunya sangat banyak bukan? Jadi, Kita tidak dapat menentukan dengan pasti berapakah nilai si $a$ yang sebenarnya. Oleh karena itu $a$ merupakan bentuk tak tentu.

Bagaimana dengan bentuk $0^0$, mengapa merupakan bentuk tak tentu? Untuk menentukan nilai dari $0^0$ kita mempunyai dua sudut pandang. Pertama, coba kamu pandang suatu bilangan yang dipangkatkan 0. Tentu hasilnya adalah 1. Apakah hasil dari $0^0$ juga 1? Lalu, coba pandang hasil dari 0 yang dipangkatkan suatu bilangan. Hasilnya adalah 0. Jadi, berapa hasil $0^0$ sebenarnya? Apakah 0 atau 1? Nah, karena ada dua hasil dari $0^0$ jelas bahwa $0^0$ merupakan bentuk tak tentu.

SMP Kelas 1