Vektor: Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri

Soal 1. SBMPTN Matematika IPA 2017
Diketahui vektor $\vec{a}=(4,6)$, $\vec{b}=(3,4)$, dan $\vec{c}=(p,0)$. Jika $|\vec{c}-\vec{a}|=10$ maka cosinus sudut antara $\vec{b}$ dan $\vec{c}$ adalah ....
A. $\frac{2}{5}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{3}{5}$
D. $\frac{2}{3}$
E. $\frac{3}{4}$
Pembahasan: C
$\vec{c}-\vec{a}=\begin{pmatrix}p\\ 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4\\ 6 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} p - 4\\ 0 - 6 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} p - 4\\ -6 \end{pmatrix}$

$|\vec{c}-\vec{a}|=10$
$\leftrightarrow \sqrt{(p-4)^2+6^2}=10$
$\leftrightarrow (p-4)^2+36 =100$
$\leftrightarrow (p-4)^2=64$
$\leftrightarrow (p-4)=\pm 8$
$p= 12$ atau $p=-4$,
diperoleh $\vec{c}=\begin{pmatrix}12\\ 0\end{pmatrix}$ atau $\vec{c}=\begin{pmatrix}-4\\ 0\end{pmatrix}$

Misalkan sudut yang dibentuk oleh $\vec{b}$ dan $\vec{c}$ adalah $\theta$
(i) Jika $\vec{c}=\begin{pmatrix}12\\ 0\end{pmatrix}$
$|\vec{b}|=\sqrt{3^2 + 4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
$|c|=\sqrt{12^2 + 0^2}=\sqrt{144+0}=\sqrt{144}=12$
$\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| \cdot |\vec{c}| \cos{\theta}$
$\leftrightarrow36+0=5\cdot 12 \cos{\theta}$
$\leftrightarrow36=60\cos{\theta}$
$\leftrightarrow\cos{\theta}=\frac{36}{60}$
$\leftrightarrow\cos{\theta}=\frac{3}{5}$

(ii) Jika $\vec{c}=\begin{pmatrix}-4\\ 0\end{pmatrix}$
$|\vec{b}|=\sqrt{3^2 + 4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
$|c|=\sqrt{(-4)^2 + 0^2}=\sqrt{16+0}=\sqrt{16}=4$
$\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| \cdot |\vec{c}| \cos{\theta}$
$\leftrightarrow -12+0=5\cdot 4 \cos{\theta}$
$\leftrightarrow -12=20\cos{\theta}$
$\leftrightarrow \cos{\theta}=\frac{-12}{20}$
$\leftrightarrow \cos{\theta}=-\frac{3}{5}$


Soal 2. SBMPTN Matematika IPA 2017
Vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ membentuk sudut $\alpha$ dengan $\sin{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{7}}$. Jika $|\vec{a}|=\sqrt{5}$ dan $\vec{a} \cdot \vec{b}=\sqrt{30}$, maka $\vec{b} \cdot \vec{b}=....$
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
E. 9
Pembahasan: C
$\sin{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{7}}$ sehingga dapat digambar sebuah segitiga siku-siku dengan sisi miring $\sqrt{7}$ dan sisi depan $1$ untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri lain dari sudut $\alpha$

Dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh panjang sisi samping sudut $\alpha$ sebesar $\sqrt{6}$ sehingga $\cos{\alpha}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|  |\vec{b}| \cos{\alpha}$
$\sqrt{30}=\sqrt{5} |\vec{b}| \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$
$\sqrt{30}= \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{7}} |\vec{b}|$
$|\vec{b}|=\sqrt{30}\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{30}}$
$|\vec{b}|=\sqrt{7}$

$\vec{b}$ berhimpit dengan $\vec{b}$ sehingga sudut yang dibentuk adalah $0{^{\circ}}$
$\vec{b} \cdot \vec{b}= |\vec{b}|  |\vec{b}| \cos{0{^{\circ}}}$
$\vec{b} \cdot \vec{b}=\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} \cdot 1$
$\vec{b} \cdot \vec{b}=7$

Persamaan Kuadrat
Logaritma
Polinomial (Suku Banyak) Trigonometri