Polinomial: Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri

Soal 1. Sipenmaru 2017
Suku banyak $f(x)$ dibagi $x-1$ sisanya 4 dan dibagi dengan $x-3$ sisanya 16. Jika f(x) dibagi dengan $x^2 -4x+3$ maka sisa pembagiannya adalah ....
A. $5x-1$
B. $6x-2$
C. $7x-3$
D. $8x-4$
E. $9x-5$
Pembahasan: B
f(x) dibagi $x^2 -4x+3$ akan memiliki sisa berbentuk $S(x)=ax+b$, sehingga
$f(x)=H(x) \cdot (x^2 -4x+3) + (ax+b)$

$f(x)$ dibagi $x-1$ sisanya 4, sehingga $f(1)=4$
$f(1)=H(1) \cdot (1^2 -4(1)+3) + (a(1) +b)$
$4 = 0 + a + b$
$a+b = 4$ ....................................... Pers (1)

$f(x)$ dibagi $x-3$ sisanya 16, sehingga $f(3)=16$
$f(3)=H(3) \cdot (3^2 -4(3)+3) + (a(3) +b)$
$16 = 0 + 3a + b$
$3a+b = 16$ .................................... Pers (2)

Eliminasi persamaan (1) dan (2)
$3a+b = 16$
  $a+b = 4$
_____________-
$ 2a = 12$
    $a=\frac{12}{2}$
    $a=6$
Substitusikan ke (1)
$a+b = 4$
$6+b =4$
$b=4-6=-2$
Jadi  sisa pembagiannya adalah $6x-2$

Soal 2. Sipenmaru 2016
Suku banyak $f(x)$ dibagi $x-2$ sisanya 5 dan dibagi dengan $x^2 -x -6$ sisanya $3x-1$. Jika f(x) dibagi dengan $x^2 -4$ maka sisa pembagiannya adalah ....
A. $x-2$
B. $x+2$
C. $2x-3$
D. $3x-1$
E. $2x+1$
Pembahasan: D
f(x) dibagi $x^2 -4=(x-2)(x+2)$ akan memiliki sisa berbentuk $S(x)=ax+b$, sehingga
$f(x)=H(x) \cdot (x-2)(x+2) + (ax+b)$

$f(x)$ dibagi $x-2$ sisanya 5, sehingga $f(2)=5$
$f(2)=H(2) \cdot (2-2)(2+2) + (a(2) +b)$
$5 =0 + 2a + b$
$2a+b = 5$ ....................................... Pers (1)

$f(x)$ dibagi $x^2 -x -6=(x-3)(x+2)$ sisanya 3x-1, sehingga
$f(x)=H_1 (x) \cdot (x-3)(x+2) +3x-1$
$f(-2)=H_1 (-2) \cdot (-2-3)(-2+2) +3(-2)-1$
$f(-2)= 0-6-1$
$f(-2)=-7$

$f(x)=H(x) \cdot (x-2)(x+2) + (ax+b)$
$f(-2)=H(-2) \cdot (-2-2)(-2+2) + (a(-2) +b)$
$-7 = 0 -2a + b$
$-2a+b = -7$ .................................... Pers (2)

Eliminasi persamaan (1) dan (2)
  $2a+b = 5$
$-2a+b = -7$
_____________-
$ 4a = 12$
    $a=\frac{12}{4}$
    $a=3$
Substitusikan ke (1)
$2a+b = 5$
$2(3)+b =5$
$b=5-6=-1$
Jadi  sisa pembagiannya adalah $3x-1$

Soal 3. SIMAK UI 2014
Diketahui $p(x)$ dan $g(x)$ adalah dua suku banyak yang berbeda, dengan $p(10)=m$ dan $g(10)=n$. Jika $p(x) h(x)=(\frac{p(x)}{g(x)}-1)(p(x)+g(x))$, $h(10)=-\frac{16}{15}$, maka nilai maksimum dari $|m+n|=$....
A. 8
B. 6
C. 4
D. 2
E. 0
Pembahasan: A
$p(x) h(x)=(\frac{p(x)}{g(x)}-1)(p(x)+g(x))$
$p(10) h(10)=(\frac{p(10)}{g(10)}-1)(p(10)+g(10))$
$m\cdot -\frac{16}{15}=(\frac{m}{n}-1)(m+n)$
$-\frac{16m}{15}=\frac{m-n}{n}\cdot (m+n)$
$-\frac{16m}{15}=\frac{(m-n)(m+n)}{n}$
$-16mn=15(m-n)(m+n)$
$-16mn=15(m^2-n^2)$
$-16mn=15m^2-15n^2$
$15m^2 +16mn -15n^2$
$(5m-3n)(3m+5n)=0$
$m=\frac{3}{5}n$ atau $m=-\frac{5}{3}n$
Ada banyak nilai $m$ dan $n$ yang memenuhi. Jika $n=5$, maka $m=3$ sehingga diperoleh $|m+n|=|3+5|=8$ sebagai nilai maksimum yang terdapat pada pilihan.

Soal 4. SBMPTN 2017
Hasil bagi $p(x)=(a-2b)x^3+(a+b)x^2+1$ oleh $x-1$ adalah $q(x)$ dengan sisa $1$. Jika $q(x)$ dibagi oleh $x+2$ bersisa $-8$, maka $a+b=$ ....
A. $-2$
B. $-1$
C. $1$
D. $2$
E. $3$
Pembahasan: D
Hasil bagi $p(x)=(a-2b)x^3+(a+b)x^2+1$ oleh $x-1$ adalah $q(x)$ dengan sisa $1$, maka dapat dinyatakan bahwa
$(a-2b)x^3+(a+b)x^2+1=q(x)\cdot (x-1) +1$
dan karena $q(x)$ dibagi oleh $x+2$ bersisa $-8$, maka
$(a-2b)x^3+(a+b)x^2+1=[h(x) \dot (x+2) + (-8)] \cdot (x-1) +1$

Untuk $x=1$, maka
$(a-2b)(1)^3+(a+b)(1)^2+1=[h(1) \dot (1+2) + (-8)] \cdot (1-1) +1$
$(a-2b)+(a+b)+1=1$
$2a-b+1=1$
$2a-b=0$
$2a=b$

Untuk $x=-2$, maka
$(a-2b)(-2)^3+(a+b)(-2)^2+1=[h(-2) \dot (-2+2) + (-8)] \cdot (-2-1) +1$
$(a-2b)(-8) + (a+b)(4) +1= (-8)\cdot (-3) +1$
$-8a+16b+4a+4b+1=24+1$
$-4a+20b+1=25$
$-4a+20b=24$
$-4a+20(2a)=24$
$-4a+40a=24$
$36a=24$
$a=\frac{24}{36}$
$a=\frac{2}{3}$

$2a=b \leftrightarrow b=2(\frac{2}{3})= \leftrightarrow \frac{4}{3}$

Jadi, $a+b=\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=\frac{6}{3}=2$

Kumpulan soal masuk perguruan tinggi negeri:
Persamaan Kuadrat
Logaritma
Trigonometri
Vektor