Persamaan Kuadrat: Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri

Soal 1. SIMAK UI 2013
Misalkan $x^2 + b_{1}x+c_1=0$ mempunyai akar-akar $\alpha$ dan $\beta$, dengan $(\alpha - \beta)^2 = 4$. Jika $x^2 + b_{2}x+c_2=0$ mempunyai akar-akar $\alpha + \beta$ dan $\alpha - \beta$, maka rasio $c_2 : b_1$ yang mungkin adalah ....
A. 2 : 1
B. 1 : 2
C. 1 : 1
D. 1 : 3
E. 3 : 1
Pembahasan:
$(\alpha - \beta)^2 = 4 \leftrightarrow \alpha - \beta = -2$ atau $\alpha - \beta = 2$

$x^2 + b_{1}x+c_1=0$ mempunyai akar-akar $\alpha$ dan $\beta$ sehingga diperoleh
$\alpha + \beta = -b_1$

$x^2 + b_{2}x+c_2=0$ mempunyai akar-akar $\alpha + \beta$ dan $\alpha - \beta$, sehingga diperoleh
$(\alpha + \beta)(\alpha - \beta) = c_2$

(i) Jika $\alpha - \beta = -2$, maka
$c_2 = (\alpha + \beta)(\alpha - \beta)=(-b_1)(-2)=2b_1$.
Akibatnya,
$\frac{c_2}{b_1}=\frac{2b_1}{b_1}=2$

(ii) Jika $\alpha - \beta = 2$, maka
$c_2 = (\alpha + \beta)(\alpha - \beta)=(-b_1)(2)=-2b_1$.
Akibatnya,
$\frac{c_2}{b_1}=\frac{-2b_1}{b_1}=-2$

Jadi, rasio $c_2 : b_1 = 2 : 1$

Soal 2. SIMAK UI 2012
Akar-akar positif dari persamaan kuadrat $x^2 +mx+n=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$. Jika $2\beta - \alpha = 12$ dam $\alpha^2 = 4\beta$, maka $m+n=$....
A. $-39$
B. $-16$
C. $0$
D. $16$
E. $39$
Pembahasan: A
$\alpha>0$ dan $\beta > 0$

$2\beta - \alpha = 12 \leftrightarrow 2\beta = \alpha + 12$

$\alpha^2 = 4\beta$
$\leftrightarrow \alpha^2 = 2 (2\beta)$
$\leftrightarrow \alpha^2 = 2 (\alpha + 12)$
$\leftrightarrow \alpha^2 = 2 \alpha + 24$
$\leftrightarrow \alpha^2 - 2 \alpha - 24=0$
$\leftrightarrow (\alpha -6)(\alpha+4)=0$
$\leftrightarrow \alpha = 6$ atau $\alpha = -4$
Karena $\alpha >0$ maka $\alpha =6$, sehingga
$2\beta = \alpha + 12 \leftrightarrow 2\beta = 6 + 12=18 \leftrightarrow \beta=9$

$x^2 +mx+n=0$ mempunyai akar-akar $\alpha$ dan $\beta$, sehingga diperoleh
$\alpha + \beta = -m \leftrightarrow 6+9=-m \leftrightarrow m=-15$
$\alpha \cdot \beta = n \leftrightarrow 6\cdot 9 =n \leftrightarrow n=54$

Jadi, $m+n=(-15)+54=-39$

Soal 3. SIMAK UI 2014
Jika $m$ dan $n$ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat $2x^2 +x-2=0$, maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah $m^3 - n^2$ dan $n^3 - m^2$ adalah ....
A. $32x^2 +101 x - 124 =0$
B. $32x^2 -101 x + 124 =0$

C. $-32x^2 +101 x - 124 =0$

D. $-32x^2 -101 x - 124 =0$

E. $-32x^2 +101 x + 124 =0$

Pembahasan: Tidak ada jawaban

$2x^2 +x-2=0$ memiliki akar-akar $m$ dan $n$, sehingga
$m+n=-\frac{1}{2}$
$mn=-1$

$(m^3 - n^2)+(n^3 - m^2) = (m^3 + n^3) - (m^2+n^2)$
$(m^3 - n^2)+(n^3 - m^2) = [(m + n)^3 - 3mn(m+n)] - [(m+n)^2 - 2mn]$
$(m^3 - n^2)+(n^3 - m^2) = [(-\frac{1}{2})^3 - 3(-1)(-\frac{1}{2})] - [(-\frac{1}{2})^2 - 2(-1)]$

$(m^3 - n^2)+(n^3 - m^2) = [-\frac{1}{8} - \frac{3}{2})] - [\frac{1}{4} +2]$

$(m^3 - n^2)+(n^3 - m^2) = (-\frac{13}{8}) - (\frac{9}{4})$

$(m^3 - n^2)+(n^3 - m^2) = -\frac{31}{8}$

$(m^3 - n^2)(n^3 - m^2) = (mn)^3 -m^5 -n^5 + (mn)^2$
$(m^3 - n^2)(n^3 - m^2) = (-1)^3 -(m^5 + n^5) + (-1)^2$

Mencari $m^5 + n^5$
Dengan menggunakan binomial newton atau boleh juga menggunakan segitiga pascal, diperoleh bahwa
$(m+n)^5= m^5 +5m^4n+10m^3 n^2+ 10m^2n^3+5mn^4+n^5$
$m^5 + n^5= (m+n)^5 - 5m^4n - 10m^3 n^2 - 10m^2n^3 - 5mn^4$
$m^5 + n^5= (m+n)^5 - 5m^4n - 5mn^4 - 10m^3 n^2 - 10m^2n^3$
$m^5 + n^5= (m+n)^5 - 5mn(m^3 + n^3) - 10(mn)^2(m+n)$
$m^5 + n^5= (-\frac{1}{2})^5 - 5(-1)(-\frac{13}{8}) - 10(-1)^2(-\frac{1}{2})$
$m^5 + n^5= -\frac{1}{32} - \frac{65}{8}) - 10(1)(-\frac{1}{2})$
$m^5 + n^5= -\frac{1}{32}) -\frac{65}{8})+5$
$m^5 + n^5= \frac{-1-260+160}{32})$
$m^5 + n^5=  -\frac{101}{32})$

$(m^3 - n^2)(n^3 - m^2) = -1 -( -\frac{101}{32})) + 1$
$(m^3 - n^2)(n^3 - m^2) = \frac{101}{32}$

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah $m^3 - n^2$ dan $n^3 - m^2$ adalah
$x^2 - ((m^3 - n^2)+(n^3 - m^2))x + (m^3 - n^2)(n^3 - m^2)=0$
$x^2 - (-\frac{31}{8})x + \frac{101}{32}=0$
------------------------------------------ (Kalikan kedua ruas dengan 32)
$32x^2 +124x + 101=0$

Soal 4. Sipenmaru 2016
Diketahui akar-akar persamaan kuadrat $x^2 -px+p+1=0$ adalah $x_1$ dan $x_2$. Jika ${x_1}^2 +{x_2}^2 =6$ maka nilai $p=$ ...
A. $-2$ atau $4$
B. $-3$ atau $5$
C. $-4$ atau $2$
D. $-5$ atau $3$
E. $-6$ atau $1$
Pembahasan: A
$x^2 -px+p+1=0$ mempunyai akar-akar $x_1$ dan $x_2$, sehingga
$x_1 + x_2 = p$
$x_1 x_2 = p+1$

${x_1}^2 +{x_2}^2 =6$
$(x_1 + x_2)^2 -2x_1 x_2 =6$
$p^2 - 2(p+1)=6$
$p^2 -2p -2=6$
$p^2 -2p -8 =0$
$(p+2)(p-4)=0$
$p=-2$ atau $p=4$

Soal 5. Sipenmaru 2017
Diketahui akar-akar persamaan kuadrat $x^2 +px-3p+1=0$ adalah $x_1$ dan $x_2$. Jika ${x_1}^2 +{x_2}^2 =5$ maka nilai $p=$ ...
A. $-8$ atau $0$
B. $-7$ atau $1$
C. $-6$ atau $2$
D. $-5$ atau $3$
E. $-4$ atau $4$
Pembahasan: B
$x^2 +px-3p+1=0$ mempunyai akar-akar $x_1$ dan $x_2$, sehingga
$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 x_2 = -3p+1$

${x_1}^2 +{x_2}^2 =5$
$(x_1 + x_2)^2 -2x_1 x_2 =5$
$(-p)^2 - 2(-3p+1)=5$
$p^2 +6p -2=5$
$p^2 +6p -7 =0$
$(p+7)(p-1)=0$
$p=-7$ atau $p=1$

Kumpulan Soal Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri:
Logaritma
Polinomial
Trigonometri
Lingkaran
Vektor