Lingkaran: Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri

Soal 1. Sipenmaru 2017
Jika diameter suatu lingkaran terletak pada titik $A(3, -2)$ dan titik $B(5,8)$ maka persamaan lingkaran tersebut adalah ....
A. $x^2 +y^2 +4x-3y-4=0$
B. $x^2 +y^2 +4x-3y+1=0$
C. $x^2 +y^2 +8x+6y-3=0$
D. $x^2 +y^2 -8x+6y-2=0$
E. $x^2 +y^2 -8x-6y-1=0$
Pembahasan: E
Menentukan titik pusat lingkaran.
Titik pusat lingkaran merupakan titik tengah dari diameter ($AB$), maka
$P=(\frac{3+5}{2},\frac{-2+8}{2})$
$P=(4,3)$

Menentukan panjang jari-jari lingkaran
Panjang jari-jari lingkaran adalah setengah dari panjang diameternya (setengah dari jarak titik A ke titik B).
$r=\frac{1}{2} \sqrt{(5-3)^2 + (8-(-2))^2}=\frac{1}{2} \sqrt{4 + 100}=\frac{1}{2} \sqrt{104}=\frac{1}{2} \sqrt{4\cdot 26}=\frac{1}{2}\cdot 2 \sqrt{26}=\sqrt{26}$

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (4,3) dan memiliki jari-jari $\sqrt{26}$
$(x-4)^2 +(y-3)^2 = (\sqrt{26})^2$
$x^2 -8x+16 +y^2-6y+9 = 26$
$x^2 +y^2-8x-6y+25 - 26=0$
$x^2 +y^2-8x-6y-1=0$

Soal 2. Sipenmaru 2016
Persamaan lingkaran yang melalui titik-titik $(-3, -5)$, $(-2,2)$, dan (5, 1) adalah ....
A. $x^2 +y^2 +4x+8y-25=0$
B. $x^2 +y^2 +4x-8y-15=0$
C. $x^2 +y^2 +2x+4y-25=0$
D. $x^2 +y^2 -2x-4y-15=0$
E. $x^2 +y^2 -2x+4y-20=0$
Pembahasan: E
Suatu persamaan lingkaran dapat dinyatakan dalam $x^2 +y^2+Ax+By+C=0$
i) lingkaran melalui titik $(-3, -5)$, maka
$(-3)^2 +(-5)^2+A(-3)+B(-5)+C=0$
$9+25-3A-5B+C=0$
$-3A-5B+C=-34$ .............. Persamaan (1)

ii) Lingkaran melalui titik $(-2, -2)$, maka
$(-2)^2 +(2)^2+A(-2)+B(2)+C=0$
$4+4-2A+2B+C=0$
$-2A+2B+C=-8$ .............. Persamaan (2)

iii) Lingkaran melalui titik $(5, 1)$, maka
$(5)^2 +(1)^2+A(5)+B(1)+C=0$
$25+1+5A+B+C=0$
$5A+B+C=-26$ .............. Persamaan (3)

Eliminasi persamaan (1) dan (2)
$-3A-5B+C=-34$
$-2A+2B+C=-8$
__________________________-
$-A-7B=-26$  ................ Persamaan (4)

Eliminasi persamaan (2) dan (3)
$-2A+2B+C=-8$
$5A+B+C=-26$
__________________________-
$-7A+B=18$   ................ Persamaan (5)

Eliminasi persamaan (4) dan (5)
$-A-7B=-26$    $|\times 7|$ $-7A-49B=-182$
$-7A+B=18$       $|\times 1|$ $-7A+B=18$
                                                _____________________-
                                                        $-50B=-200$
                                                               $B=4$   ................ Persamaan (6)

Substitusikan persamaan (6) ke (4)
$-A-7B=-26$
$-A-7(4)=-26$
$-A-28=-26$
$-A=2$
$A=-2$    ................ Persamaan (7)

Substitusikan persamaan (7) ke (2)
$-2A+2B+C=-8$
$-2(-2)+2(4)+C=-8$
$4+8+C=-8$
$C=-20$

Jadi, persamaan lingkaran tersebut adalah $x^2+y^2-2x+4y-20=0$.

Kumpulan Soal Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri:
Persamaan Kuadrat
Logaritma
Polinomial
Trigonometri
Matriks Vektor