Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat memiliki bentuk umum:

$ax^2 + bx+c = 0$

dengan $a$, $b$, dan $c$ bilangan riil, dan $a\neq 0$

Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Umumnya, terdapat 3 cara untuk menentukan persamaan kuadrat.
1. Memfaktorkan
2. Menggunakan rumus
3. Melengkapkan kuadrat sempurna

Jenis-Jenis Akar Persamaan Kuadrat
Dari persamaan kuadrat $ax^2 + bx+c = 0$, dapat ditentukan nilai dari deskriminannya yaitu

$D=b^2 -4ac$

Nilai deskriminan ini dapat digunakan untuk menentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat, yaitu sebagai berikut.

(i) Persamaan kuadrat memiliki dua akar riil, maka $D>=0$

(ii) Persamaan kuadrat memiliki dua akar riil berlainan, maka $D>0$

(iii) Persamaan kuadrat memiliki akar kembar, maka $D=0$

(iv) Persamaan kuadrat memiliki akar yang imajiner $D<0$

Persamaan Kuadrat Baru

Polinomial: Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri

Soal 1. Sipenmaru 2017
Suku banyak $f(x)$ dibagi $x-1$ sisanya 4 dan dibagi dengan $x-3$ sisanya 16. Jika f(x) dibagi dengan $x^2 -4x+3$ maka sisa pembagiannya adalah ....
A. $5x-1$
B. $6x-2$
C. $7x-3$
D. $8x-4$
E. $9x-5$
Pembahasan: B
f(x) dibagi $x^2 -4x+3$ akan memiliki sisa berbentuk $S(x)=ax+b$, sehingga
$f(x)=H(x) \cdot (x^2 -4x+3) + (ax+b)$

$f(x)$ dibagi $x-1$ sisanya 4, sehingga $f(1)=4$
$f(1)=H(1) \cdot (1^2 -4(1)+3) + (a(1) +b)$
$4 = 0 + a + b$
$a+b = 4$ ....................................... Pers (1)

$f(x)$ dibagi $x-3$ sisanya 16, sehingga $f(3)=16$
$f(3)=H(3) \cdot (3^2 -4(3)+3) + (a(3) +b)$
$16 = 0 + 3a + b$
$3a+b = 16$ .................................... Pers (2)

Eliminasi persamaan (1) dan (2)
$3a+b = 16$
  $a+b = 4$
_____________-
$ 2a = 12$
    $a=\frac{12}{2}$
    $a=6$
Substitusikan ke (1)
$a+b = 4$
$6+b =4$
$b=4-6=-2$
Jadi  sisa pembagiannya adalah $6x-2$

Soal 2. Sipenmaru 2016
Suku banyak $f(x)$ dibagi $x-2$ sisanya 5 dan dibagi dengan $x^2 -x -6$ sisanya $3x-1$. Jika f(x) dibagi dengan $x^2 -4$ maka sisa pembagiannya adalah ....
A. $x-2$
B. $x+2$
C. $2x-3$
D. $3x-1$
E. $2x+1$
Pembahasan: D
f(x) dibagi $x^2 -4=(x-2)(x+2)$ akan memiliki sisa berbentuk $S(x)=ax+b$, sehingga
$f(x)=H(x) \cdot (x-2)(x+2) + (ax+b)$

$f(x)$ dibagi $x-2$ sisanya 5, sehingga $f(2)=5$
$f(2)=H(2) \cdot (2-2)(2+2) + (a(2) +b)$
$5 =0 + 2a + b$
$2a+b = 5$ ....................................... Pers (1)

$f(x)$ dibagi $x^2 -x -6=(x-3)(x+2)$ sisanya 3x-1, sehingga
$f(x)=H_1 (x) \cdot (x-3)(x+2) +3x-1$
$f(-2)=H_1 (-2) \cdot (-2-3)(-2+2) +3(-2)-1$
$f(-2)= 0-6-1$
$f(-2)=-7$

$f(x)=H(x) \cdot (x-2)(x+2) + (ax+b)$
$f(-2)=H(-2) \cdot (-2-2)(-2+2) + (a(-2) +b)$
$-7 = 0 -2a + b$
$-2a+b = -7$ .................................... Pers (2)

Eliminasi persamaan (1) dan (2)
  $2a+b = 5$
$-2a+b = -7$
_____________-
$ 4a = 12$
    $a=\frac{12}{4}$
    $a=3$
Substitusikan ke (1)
$2a+b = 5$
$2(3)+b =5$
$b=5-6=-1$
Jadi  sisa pembagiannya adalah $3x-1$

Soal 3. SIMAK UI 2014
Diketahui $p(x)$ dan $g(x)$ adalah dua suku banyak yang berbeda, dengan $p(10)=m$ dan $g(10)=n$. Jika $p(x) h(x)=(\frac{p(x)}{g(x)}-1)(p(x)+g(x))$, $h(10)=-\frac{16}{15}$, maka nilai maksimum dari $|m+n|=$....
A. 8
B. 6
C. 4
D. 2
E. 0
Pembahasan: A
$p(x) h(x)=(\frac{p(x)}{g(x)}-1)(p(x)+g(x))$
$p(10) h(10)=(\frac{p(10)}{g(10)}-1)(p(10)+g(10))$
$m\cdot -\frac{16}{15}=(\frac{m}{n}-1)(m+n)$
$-\frac{16m}{15}=\frac{m-n}{n}\cdot (m+n)$
$-\frac{16m}{15}=\frac{(m-n)(m+n)}{n}$
$-16mn=15(m-n)(m+n)$
$-16mn=15(m^2-n^2)$
$-16mn=15m^2-15n^2$
$15m^2 +16mn -15n^2$
$(5m-3n)(3m+5n)=0$
$m=\frac{3}{5}n$ atau $m=-\frac{5}{3}n$
Ada banyak nilai $m$ dan $n$ yang memenuhi. Jika $n=5$, maka $m=3$ sehingga diperoleh $|m+n|=|3+5|=8$ sebagai nilai maksimum yang terdapat pada pilihan.

Soal 4. SBMPTN 2017
Hasil bagi $p(x)=(a-2b)x^3+(a+b)x^2+1$ oleh $x-1$ adalah $q(x)$ dengan sisa $1$. Jika $q(x)$ dibagi oleh $x+2$ bersisa $-8$, maka $a+b=$ ....
A. $-2$
B. $-1$
C. $1$
D. $2$
E. $3$
Pembahasan: D
Hasil bagi $p(x)=(a-2b)x^3+(a+b)x^2+1$ oleh $x-1$ adalah $q(x)$ dengan sisa $1$, maka dapat dinyatakan bahwa
$(a-2b)x^3+(a+b)x^2+1=q(x)\cdot (x-1) +1$
dan karena $q(x)$ dibagi oleh $x+2$ bersisa $-8$, maka
$(a-2b)x^3+(a+b)x^2+1=[h(x) \dot (x+2) + (-8)] \cdot (x-1) +1$

Untuk $x=1$, maka
$(a-2b)(1)^3+(a+b)(1)^2+1=[h(1) \dot (1+2) + (-8)] \cdot (1-1) +1$
$(a-2b)+(a+b)+1=1$
$2a-b+1=1$
$2a-b=0$
$2a=b$

Untuk $x=-2$, maka
$(a-2b)(-2)^3+(a+b)(-2)^2+1=[h(-2) \dot (-2+2) + (-8)] \cdot (-2-1) +1$
$(a-2b)(-8) + (a+b)(4) +1= (-8)\cdot (-3) +1$
$-8a+16b+4a+4b+1=24+1$
$-4a+20b+1=25$
$-4a+20b=24$
$-4a+20(2a)=24$
$-4a+40a=24$
$36a=24$
$a=\frac{24}{36}$
$a=\frac{2}{3}$

$2a=b \leftrightarrow b=2(\frac{2}{3})= \leftrightarrow \frac{4}{3}$

Jadi, $a+b=\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=\frac{6}{3}=2$

Kumpulan soal masuk perguruan tinggi negeri:
Persamaan Kuadrat
Logaritma
Trigonometri
Vektor

Persamaan Garis Lurus

Gradien Garis

• Gradien garis merupakan suatu bilangan yang menyatakan kemiringan dari suatu garis.

• Gradien garis yang melalui dua titik $A(x_1, y_1)$ dan $B(x_2, y_2)$ yaitu

$m_{AB}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

• Gradien garis yang mempunyai persamaan $y=mx+ c$ adalah $m$ yaitu koefisien dari variabel x.

• Gradien garis yang mempunyai persamaan $ax+by+c=0$ adalah $-\frac{a}{b}$.

Persamaan Garis

• Garis lurus dapat dinyatakan dalam persamaan:

$y=mx+c$

         dengan:

         m= gradien garis

         c= konstanta

• Persamaan garis lurus yang dilalui oleh titik $A(x_1, y_1)$ dan memiliki gradien $m$  dapat ditentukan dengan rumus berikut.

$y-y_1=m(x-x_1)$

• Persamaan garis lurus yang dilalui oleh titik $A(x_1, y_1)$ dan $B(x_2, y_2)$  dapat ditentukan dengan rumus berikut.

$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$

Hubungan antara dua garis

1. Dua garis sejajar.

Jika garis $k$ dan garis $l$ sejajar, maka

$m_k = m_l$

dengan:

        $m_k$= gradien garis $k$

        $m_l$= gradien garis $l$

2. Dua garis tegak lurus

Jika garis $k$ dan garis $l$ membentuk sudut siku-siku (saling tegak lurus), maka

$m_k \cdot m_l= -1$

dengan:

        $m_k$= gradien garis $k$

        $m_l$= gradien garis $l$

Baca juga Persamaan Garis Lurus

Soal dan Latihan Peluang

Soal 1. (UCUN DKI 2017 Tahap 1)
Dalam percobaan melempar sebuah dadu, peluang muncul mata dadu kelipatan 2 adalah ....
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{2}{3}$
Pembahasan: C
$S=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, $n(S)=6$
Misalkan A= kejadian muncul mata dadu kelipatan 2,
maka $A = \{2, 4, 6\}$, dan $n(A)=3$
$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

Soal 2. (UCUN DKI 2017 Tahap 1)
Dalam satu kantong, terdapat kelereng sebagai berikut.

Jika diambil sebuah kelereng secara acak, nilai kemungkinan terambil kelereng hijau adalah ....
A. 0,20
B. 0,24
C. 0,40
D. 0,45
Pembahasan: A
misalkan A=kejadian terambilnya kelereng hijau, maka
$n(A) = 40$
$n(S) = 200$
$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{40}{200}=\frac{1}{5}=0,20$

Soal 3.
Dalam percobaan melempar 3 uang logam secara bersamaan, peluang muncul 2 gambar adalah ....
A. $\frac{1}{8}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{3}{8}$
D. $\frac{5}{8}$
Pembahasan: C
$S = \{AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG \}$, $n(S)=8$
$A= \{AAG, AGA, GAA\}$, $n(A)=3$
$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{3}{8}$

Soal 4. 
Dalam suatu kantong berisi 8 kelereng bernomor 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan 8. Dua kelereng diambil secara acak, nilai kemungkinan terambil kelereng keduanya bernomor genap adalah ....
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{4}{21}$
C. $\frac{3}{14}$
D. $\frac{3}{16}$
Pembahasan: C
A = Kejadian terambilnya kelereng pertama bernomor genap, $P(A)=\frac{4}{8}$
B = Kejadian terambilnya kelereng kedua bernomor genap, $P(B)=\frac{3}{7}$
$P(A \cup B)=P(A)\cdot P(B)=\frac{4}{8}\cdot \frac{3}{7}=\frac{3}{14}$

Baca juga Soal dan Pembahasan Statistika Kelas 8

Soal 5. (UCUN DKI 2018 Tahap 2)
Dalam suatu kantong berisi 32 kelereng putih, 18 kelereng biru, dan 10 kelereng merah. Jika diambil 1 secara acak peluang terambil kelereng biru adalah ....
A. 0,18
B. 0,3
C. 0,6
D. 1,8
Pembahasan: B
A = Kejadian terambilnya kelereng biru, $n(A)=18$
$n(S)=60$
$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{18}{60}=\frac{3}{10}=0,3$

Soal 6. (UCUN DKI 2018 Tahap 2)
Dalam percobaan melempar 3 uang logam secara bersamaan, peluang muncul 3 angka adalah ....
A. $\frac{1}{8}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{3}{8}$
D. $\frac{5}{8}$
Pembahasan: A
$S = \{AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG \}$, $n(S)=8$
$A= \{AAA\}$, $n(A)=a$
$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{1}{8}$

Baca juga Persamaan Garis Lurus

Soal 7. (UCUN DKI 2018 Tahap 2)
Dalam percobaan melempar 2 buah dadu, peluang muncul mata dadu berjumlah lebih dari 6 adalah ....
A. $\frac{1}{18}$
B. $\frac{5}{36}$
C. $\frac{5}{12}$
D. $\frac{7}{12}$
Pembahasan: D
$S=\{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),$
         $(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) \}$
$n(S)=36$
Misal: A adalah kejadian munculnya mata dadu berjumlah lebih dari 6
$A=\{(1,6), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) \}$
$n(A)=21$
$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{21}{36}=\frac{7}{12}$

Trigonometri: Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri

Soal 1. SBMPTN 2017
Jika $x$ memenuhi $-2\csc{x}+2\cot{x}+3 \sin{x}=0$ untuk $0{^{\circ}} < x < \pi$, maka $\cos{x}= ....$
A. $-\frac{2}{3}$
B. $-\frac{1}{2}$
C. $-\frac{1}{3}$
D. $\frac{1}{2}$
E. $\frac{2}{3}$
Pembahasan: C
$-2\csc{x}+2\cot{x}+3 \sin{x}=0$
$-\frac{2}{\sin{x}}+\frac{2 \cos{x}}{\sin{x}}+3 \sin{x}=0$ (kalikan kedua ruas dengan $\sin{x}$)
$-2 + 2 \cos{x} + 3 \sin^{2}{x}=0$
$-2 + 2 \cos{x} + 3 (1-\cos^{2}{x})=0$
$-2 + 2 \cos{x} + 3- 3\cos^{2}{x}=0$
$-3\cos^{2}{x} + 2\cos{x}+1=0$
$3\cos^{2}{x} - 2\cos{x}-1=0$
$(3\cos{x}+1)(\cos{x}-1)=$
$\cos{x}=-\frac{1}{3}$ atau $\cos{x}=1$ (TM, karena $0{^{\circ}} < x < \pi$).

Soal 2.
Jika $\sin{\alpha} + \sin{\beta} = \sqrt{2A}$ dan $\cos{\alpha} + \cos{\beta} = \sqrt{2B}$, maka nilai dari $\cos(\alpha - \beta)=....$
A. $A+B-1$
B. $\frac{A+B-1}{2}$
C. $A+B-2$
D. $\frac{A+B-2}{2}$
E. $\frac{A+B-2}{4}$
Pembahasan: A
$\sin{\alpha} + \sin{\beta} = \sqrt{2A}$
$\sin^2{\alpha} +2\sin{\alpha}\sin{\beta} + \sin^2 {\beta} = 2A \ .............  pers. (1)$

$\cos{\alpha} + \cos{\beta} = \sqrt{2B}$
$\cos^2{\alpha} +2\cos{\alpha}\cos{\beta} + \cos^2 {\beta} = 2B \ .......... pers. (2)$

Jumlahkan persamaan (1) dan (2)
$\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}+2\sin{\alpha}\sin{\beta}+2\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin^2 {\beta}+\cos^2 {\beta}=2A+2B$
$1+2\sin{\alpha}\sin{\beta}+2\cos{\alpha}\cos{\beta}+1=2A+2B$
$2\sin{\alpha}\sin{\beta}+2\cos{\alpha}\cos{\beta}+2=2A+2B$
$2\sin{\alpha}\sin{\beta}+2\cos{\alpha}\cos{\beta}=2A+2B-2$
$\sin{\alpha}\sin{\beta}+\cos{\alpha}\cos{\beta}=A+B-1$
$\cos{(\alpha - \beta)}=A+B-1$

Baca Juga Vektor: Soal-Soal SBMPTN

Soal 3.
Diketahui $\sin{\alpha} \cos{\alpha} = \frac{8}{25}$. Nilai $\frac{1}{\sin{\alpha}} - \frac{1}{\cos{\alpha}} = ....$
A. \frac{3}{25}
B. \frac{9}{25}
C. \frac{5}{8}
D. \frac{3}{5}
E. \frac{15}{8}
Pembahasan: E
$\frac{1}{\sin{\alpha}} - \frac{1}{\cos{\alpha}} = \frac{\cos{\alpha}-\sin{\alpha}}{\sin{\alpha} \cos{\alpha}}$

Misalkan,
$\cos{\alpha}-\sin{\alpha}=a$
$(\cos{\alpha}-\sin{\alpha})^2=a^2$
$\cos^2 {\alpha}-2\cos{\alpha} \sin{\alpha}+\sin^2 {\alpha}=a^2$
$\sin^2 {\alpha}+\cos^2 {\alpha}-2\cos{\alpha} \sin{\alpha}=a^2$
$1-2(\frac{8}{25})=a^2$
$1-\frac{16}{25}=a^2$
$\frac{9}{25}=a^2$
$a=\frac{3}{5}$

$\frac{1}{\sin{\alpha}} - \frac{1}{\cos{\alpha}} = \frac{\cos{\alpha}-\sin{\alpha}}{\sin{\alpha} \cos{\alpha}}$
$\frac{1}{\sin{\alpha}} - \frac{1}{\cos{\alpha}} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{8}{25}}$
$\frac{1}{\sin{\alpha}} - \frac{1}{\cos{\alpha}} = \frac{15}{8}$

Persamaan Kuadrat
Logaritma
Polinomial (Suku Banyak)
Vektor

Vektor: Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri

Soal 1. SBMPTN Matematika IPA 2017
Diketahui vektor $\vec{a}=(4,6)$, $\vec{b}=(3,4)$, dan $\vec{c}=(p,0)$. Jika $|\vec{c}-\vec{a}|=10$ maka cosinus sudut antara $\vec{b}$ dan $\vec{c}$ adalah ....
A. $\frac{2}{5}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{3}{5}$
D. $\frac{2}{3}$
E. $\frac{3}{4}$
Pembahasan: C
$\vec{c}-\vec{a}=\begin{pmatrix}p\\ 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4\\ 6 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} p - 4\\ 0 - 6 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} p - 4\\ -6 \end{pmatrix}$

$|\vec{c}-\vec{a}|=10$
$\leftrightarrow \sqrt{(p-4)^2+6^2}=10$
$\leftrightarrow (p-4)^2+36 =100$
$\leftrightarrow (p-4)^2=64$
$\leftrightarrow (p-4)=\pm 8$
$p= 12$ atau $p=-4$,
diperoleh $\vec{c}=\begin{pmatrix}12\\ 0\end{pmatrix}$ atau $\vec{c}=\begin{pmatrix}-4\\ 0\end{pmatrix}$

Misalkan sudut yang dibentuk oleh $\vec{b}$ dan $\vec{c}$ adalah $\theta$
(i) Jika $\vec{c}=\begin{pmatrix}12\\ 0\end{pmatrix}$
$|\vec{b}|=\sqrt{3^2 + 4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
$|c|=\sqrt{12^2 + 0^2}=\sqrt{144+0}=\sqrt{144}=12$
$\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| \cdot |\vec{c}| \cos{\theta}$
$\leftrightarrow36+0=5\cdot 12 \cos{\theta}$
$\leftrightarrow36=60\cos{\theta}$
$\leftrightarrow\cos{\theta}=\frac{36}{60}$
$\leftrightarrow\cos{\theta}=\frac{3}{5}$

(ii) Jika $\vec{c}=\begin{pmatrix}-4\\ 0\end{pmatrix}$
$|\vec{b}|=\sqrt{3^2 + 4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
$|c|=\sqrt{(-4)^2 + 0^2}=\sqrt{16+0}=\sqrt{16}=4$
$\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| \cdot |\vec{c}| \cos{\theta}$
$\leftrightarrow -12+0=5\cdot 4 \cos{\theta}$
$\leftrightarrow -12=20\cos{\theta}$
$\leftrightarrow \cos{\theta}=\frac{-12}{20}$
$\leftrightarrow \cos{\theta}=-\frac{3}{5}$


Soal 2. SBMPTN Matematika IPA 2017
Vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ membentuk sudut $\alpha$ dengan $\sin{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{7}}$. Jika $|\vec{a}|=\sqrt{5}$ dan $\vec{a} \cdot \vec{b}=\sqrt{30}$, maka $\vec{b} \cdot \vec{b}=....$
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
E. 9
Pembahasan: C
$\sin{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{7}}$ sehingga dapat digambar sebuah segitiga siku-siku dengan sisi miring $\sqrt{7}$ dan sisi depan $1$ untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri lain dari sudut $\alpha$

Dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh panjang sisi samping sudut $\alpha$ sebesar $\sqrt{6}$ sehingga $\cos{\alpha}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|  |\vec{b}| \cos{\alpha}$
$\sqrt{30}=\sqrt{5} |\vec{b}| \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$
$\sqrt{30}= \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{7}} |\vec{b}|$
$|\vec{b}|=\sqrt{30}\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{30}}$
$|\vec{b}|=\sqrt{7}$

$\vec{b}$ berhimpit dengan $\vec{b}$ sehingga sudut yang dibentuk adalah $0{^{\circ}}$
$\vec{b} \cdot \vec{b}= |\vec{b}|  |\vec{b}| \cos{0{^{\circ}}}$
$\vec{b} \cdot \vec{b}=\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} \cdot 1$
$\vec{b} \cdot \vec{b}=7$

Persamaan Kuadrat
Logaritma
Polinomial (Suku Banyak) Trigonometri