Turunan: Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri

Soal 1. SBMPTN 2017
Misalkan $f(x)=sin{(cos^2{x})}$, maka $f'(x)=....$
A. $-2 sin{x}\cdot cos{(cos^2{x})}$
B. $-2 sin{2x}\cdot cos{(cos^2{x})}$
C. $- sin{x}\cdot cos{(cos^2{x})}$
D. $- sin{2x}\cdot cos{(cos^2{x})}$
E. $- sin^2{x}\cdot cos{(cos^2{x})}$
Pembahasan: D
$f(x)=sin{(cos^2{x})}$
$f'(x)=2cos{x}\cdot (-sin{x})\cdot cos{(cos^2{x})}$
$f'(x)=-2 sin{x}\cdot cos{x}\cdot cos{(cos^2{x})}$
$f'(x)=-sin{2x}\cdot cos{(cos^2{x})}$

Soal 2. SBMPTN 2017
Jika garis singgung dari kurva $y=x^3+a\sqrt{x}$ di titik $(1,b)$ adalah $y=ax-c$, maka $a+b+c=....$
A. $10$
B. $11$
C. $12$
D. $13$
E. $14$
Pembahasan: C
Garis singgung kurva adalah $y=ax-c$ sehingga gradien garis singgung tersebut adalah $m=a$
Perhatikan bahwa gradien dari suatu kurva adalah turunan pertamanya, sehingga
$m=y'$
$a=3x^2+\frac{a}{2\sqrt{x}}$
Garis singgung melalui titik (1,b) sehingga persamaan tersebut menjadi
$a=3(1)^2+\frac{a}{2\sqrt{1}}$
$a=3+\frac{a}{2}$
                                 ($\times 2$)
$2a=6+a$
$a=6$

Kurva $y=x^3+a\sqrt{x}=x^3+6\sqrt{x}$ melalui titik $(1,b)$, maka
$b=1^3+6\sqrt{1}$
$b=1+6$
$b=7$

Garis singgung $y=ax-c$ melalui $(1, b)=(1,7)$, maka
$7=6-c$
$c=-1$

Jadi, nilai $a+b+c=6+7+(-1)=12$.

Soal 3. Sipenmaru 2017
Sebuah mobil bergerak sepanjang garis lurus. Jika jarak yang ditempuh dinyatakan dengan $s(t)=10t^3-25t^2+50t$ maka percepatan mobil pada saat $t=10$ detik adalah ....
A. $8000\ m/detik^2$
B. $2550\ m/detik^2$
C. $550\ m/detik^2$
D. $300\ m/detik^2$
E. $60\ m/detik^2$
Pembahasan: C
Perhatikan bahwa persamaan percepatan adalah $a=s''$.
$s'(t)=30t^2-50t+50$
$s''(t)=60t-50$
$a(t)=s''(t)$
$a(t)=60t-50$
$a(10)=60(10)-50$
$a(10)=600-50=550$

Soal 4. Sipenmaru 2016
Jika suatu proyek akan diselesaikan dalam $x$ hari, maka biaya proyek perhari adalah $(x+\frac{500}{x}-40)$ juta rupiah. Biaya minimum proyek tersebut adalah ....
A. Rp150.000.000,00
B. Rp125.000.000,00
C. Rp100.000.000,00
D. Rp75.000.000,00
E. Rp50.000.000,00
Pembahasan: C
Misalkan $y$ adalah fungsi yang menyatakan biaya yang dikeluarkan untuk proyek tersebut.
$y=x(x+\frac{500}{x}-40)$ juta rupiah
$y=x^2+500-40x$  juta rupiah
$y=x^2-40x+500$  juta rupiah.

Biaya minimum dapat diperoleh saat $y'=0$
$y=x^2-40x+500$
$y'=2x-40$
$0=2x-40$
$2x=40$
$x=20$.
Jadi, biaya minimumnya adalah $y=(20)^2-40(20)+500=400-800+500=100$ juta rupiah.

Kumpulan Soal Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri:
Persamaan Kuadrat
Logaritma
Polinomial
Trigonometri
Lingkaran
Vektor

UN Matematika SMP 2018

Soal 1.
Hasil dari $6\times (-7+4) : (-6-3)= ....$
A. $-6$
B. $-2$
C. $2$
D. $6$
Pembahasan: C
$6\times (-7+4) : (-6-3)=6\times (-3) : (-9)= (-18) : (-9) =2$

Soal 2.
Hasil dari $\frac{\frac{3}{5} + \frac{1}{2}}{\frac{3}{5} - \frac{1}{2}}$ adalah ....
A. $\frac{1}{10}$
B. $\frac{1}{11}$
C. $10$
D. $11$
Pembahasan: D

$\frac{\frac{3}{5} + \frac{1}{2}}{\frac{3}{5} - \frac{1}{2}}=\frac{\frac{6+5}{10}}{\frac{6-5}{10}}=\frac{\frac{11}{10}}{\frac{1}{10}}=\frac{11}{1}=11$

Soal 3.
Suhu udara di wilayah Jakarta $25^{\circ}C$. Di saat yang sama suhu udara di wilayah Tokyo Jepang $-6^{\circ}C$. Berapakah perbedaan suhu di kedua wilayah tersebut?
A. $31^{\circ}C$
B. $19^{\circ}C$
C. $-19^{\circ}C$
D. $-31^{\circ}C$
Pembahasan:
$25^{\circ}C - (-6^{\circ}C)=25^{\circ}C +6^{\circ}C=31^{\circ}C$

Soal 4.
Panitia kegiatan sosial menerima sumbangan gula pasir beratnya $22\frac{3}{4}$ kg, $25\frac{1}{2}$ kg, dan $24\frac{1}{4}$ kg untuk dibagikan kepada sekelompok warga. Setiap warga menerima $2\frac{1}{2}$ kg. Berapa banyak warga yang menerima gula pasir tersebut?
A. $36$
B. $35$
C. $29$
D. $27$
Pembahasan:
Banyak gula pasir yang diterima:
$22\frac{3}{4}+25\frac{1}{2}+24\frac{1}{4} = (22+25+24) + (\frac{3}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4})=71 + (\frac{3}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2})=71 + (1+\frac{1}{2})=72\frac{1}{2}$
Banyak warga:
$72\frac{1}{2}: 2\frac{1}{2} = \frac{145}{2} : \frac {5}{2}=\frac{145}{2} \times \frac {2}{5}=\frac {145}{5}=29$

Soal 5.
Hasil dari $(-5)^3 +(-5)^2 +(-5)^1 +(-5)^0$ adalah ....
A. $156$
B. $30$
C. $-104$
D. $-105$
Pembahasan: C
$(-5)^3 +(-5)^2 +(-5)^1 +(-5)^0= -125 + 25 +(-5) +1=-104$

Soal 6.
Hasil dari $\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}$ adalah ....
A. $-24 + 14 \sqrt{3}$
B. $24 + 14 \sqrt{3}$
C. $24 - 14 \sqrt{3}$
D. $-24 - 14 \sqrt{3}$
Pembahasan: A
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{4\cdot 3\sqrt{2} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}} \times \frac{3\sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{(12\sqrt{2} - 6 \sqrt{6})(3\sqrt{2} - 2 \sqrt{6})}{(3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{6})^2}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{36 \cdot 2 - 24 \cdot \sqrt{12} - 18\sqrt{12} + 12 \cdot 6}{18-24}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{72 - 24 \cdot 2\sqrt{3} - 18\cdot 2\sqrt{3} + 72 }{18-24}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{72 - 24 \cdot 2\sqrt{3} - 18\cdot 2\sqrt{3} + 72 }{-6}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{72 - 48\sqrt{3} - 36\sqrt{3} + 72}{-6}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{144 - 84\sqrt{3}}{-6}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=-24 + 14 \sqrt{3}$

Soal 7.
Tiga suku berikutnya dari barisan 2, 3, 7, 16, ... adalah ....
A. $-24 + 14 \sqrt{3}$
B. $24 + 14 \sqrt{3}$
C. $24 - 14 \sqrt{3}$
D. $-24 - 14 \sqrt{3}$
Pembahasan: A
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{4\cdot 3\sqrt{2} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}} \times \frac{3\sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{(12\sqrt{2} - 6 \sqrt{6})(3\sqrt{2} - 2 \sqrt{6})}{(3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{6})^2}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{36 \cdot 2 - 24 \cdot \sqrt{12} - 18\sqrt{12} + 12 \cdot 6}{18-24}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{72 - 24 \cdot 2\sqrt{3} - 18\cdot 2\sqrt{3} + 72 }{18-24}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{72 - 24 \cdot 2\sqrt{3} - 18\cdot 2\sqrt{3} + 72 }{-6}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{72 - 48\sqrt{3} - 36\sqrt{3} + 72}{-6}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{144 - 84\sqrt{3}}{-6}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=-24 + 14 \sqrt{3}$

Matriks: Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri

Soal 1. Sipenmaru 2016
Diketahui $A=\begin{pmatrix}2 & 1\\ 3 & 2\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}2 & 7\\ 5 & 8\end{pmatrix}$, dan $C=\begin{pmatrix}1 & -5\\ -4 & -4\end{pmatrix}$. Jika $XA=B+C$, maka matriks $X=$ ....
A. $\begin{pmatrix}-5 & 0\\ 2 & 7\end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix}5 & 0\\ 7 & 2\end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix}5 & 0\\ -7 & 2\end{pmatrix}$
D. $\begin{pmatrix}0 & 1\\ -10 & 7\end{pmatrix}$
E. $\begin{pmatrix}-1 & -1\\ 10 & 7\end{pmatrix}$
Pembahasan: D
$XA=B+C$
$X\begin{pmatrix}2 & 1\\ 3 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 7\\ 5 & 8\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1 & -5\\ -4 & -4\end{pmatrix}$
$X\begin{pmatrix}2 & 1\\ 3 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 2\\ 1 & 4\end{pmatrix}$
$X=\begin{pmatrix}3 & 2\\ 1 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 1\\ 3 & 2\end{pmatrix}^{-1}$
$X=\begin{pmatrix}3 & 2\\ 1 & 4\end{pmatrix}\frac{1}{2\cdot 2 - 1\cdot 3}\begin{pmatrix}2 & -1\\ -3 & 2\end{pmatrix}$
$X=\begin{pmatrix}3 & 2\\ 1 & 4\end{pmatrix}\frac{1}{2\cdot 2 - 1\cdot 3}\begin{pmatrix}2 & -1\\ -3 & 2\end{pmatrix}$
$X=\begin{pmatrix}3 & 2\\ 1 & 4\end{pmatrix}\frac{1}{4-3}\begin{pmatrix}2 & -1\\ -3 & 2\end{pmatrix}$
$X=\begin{pmatrix}3 & 2\\ 1 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & -1\\ -3 & 2\end{pmatrix}$
$X=\begin{pmatrix}0 & 1\\ -10 & 7\end{pmatrix}$

Kumpulan Soal Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri:
Persamaan Kuadrat
Logaritma
Polinomial
Trigonometri
Lingkaran
Vektor

Lingkaran: Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri

Soal 1. Sipenmaru 2017
Jika diameter suatu lingkaran terletak pada titik $A(3, -2)$ dan titik $B(5,8)$ maka persamaan lingkaran tersebut adalah ....
A. $x^2 +y^2 +4x-3y-4=0$
B. $x^2 +y^2 +4x-3y+1=0$
C. $x^2 +y^2 +8x+6y-3=0$
D. $x^2 +y^2 -8x+6y-2=0$
E. $x^2 +y^2 -8x-6y-1=0$
Pembahasan: E
Menentukan titik pusat lingkaran.
Titik pusat lingkaran merupakan titik tengah dari diameter ($AB$), maka
$P=(\frac{3+5}{2},\frac{-2+8}{2})$
$P=(4,3)$

Menentukan panjang jari-jari lingkaran
Panjang jari-jari lingkaran adalah setengah dari panjang diameternya (setengah dari jarak titik A ke titik B).
$r=\frac{1}{2} \sqrt{(5-3)^2 + (8-(-2))^2}=\frac{1}{2} \sqrt{4 + 100}=\frac{1}{2} \sqrt{104}=\frac{1}{2} \sqrt{4\cdot 26}=\frac{1}{2}\cdot 2 \sqrt{26}=\sqrt{26}$

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (4,3) dan memiliki jari-jari $\sqrt{26}$
$(x-4)^2 +(y-3)^2 = (\sqrt{26})^2$
$x^2 -8x+16 +y^2-6y+9 = 26$
$x^2 +y^2-8x-6y+25 - 26=0$
$x^2 +y^2-8x-6y-1=0$

Soal 2. Sipenmaru 2016
Persamaan lingkaran yang melalui titik-titik $(-3, -5)$, $(-2,2)$, dan (5, 1) adalah ....
A. $x^2 +y^2 +4x+8y-25=0$
B. $x^2 +y^2 +4x-8y-15=0$
C. $x^2 +y^2 +2x+4y-25=0$
D. $x^2 +y^2 -2x-4y-15=0$
E. $x^2 +y^2 -2x+4y-20=0$
Pembahasan: E
Suatu persamaan lingkaran dapat dinyatakan dalam $x^2 +y^2+Ax+By+C=0$
i) lingkaran melalui titik $(-3, -5)$, maka
$(-3)^2 +(-5)^2+A(-3)+B(-5)+C=0$
$9+25-3A-5B+C=0$
$-3A-5B+C=-34$ .............. Persamaan (1)

ii) Lingkaran melalui titik $(-2, -2)$, maka
$(-2)^2 +(2)^2+A(-2)+B(2)+C=0$
$4+4-2A+2B+C=0$
$-2A+2B+C=-8$ .............. Persamaan (2)

iii) Lingkaran melalui titik $(5, 1)$, maka
$(5)^2 +(1)^2+A(5)+B(1)+C=0$
$25+1+5A+B+C=0$
$5A+B+C=-26$ .............. Persamaan (3)

Eliminasi persamaan (1) dan (2)
$-3A-5B+C=-34$
$-2A+2B+C=-8$
__________________________-
$-A-7B=-26$  ................ Persamaan (4)

Eliminasi persamaan (2) dan (3)
$-2A+2B+C=-8$
$5A+B+C=-26$
__________________________-
$-7A+B=18$   ................ Persamaan (5)

Eliminasi persamaan (4) dan (5)
$-A-7B=-26$    $|\times 7|$ $-7A-49B=-182$
$-7A+B=18$       $|\times 1|$ $-7A+B=18$
                                                _____________________-
                                                        $-50B=-200$
                                                               $B=4$   ................ Persamaan (6)

Substitusikan persamaan (6) ke (4)
$-A-7B=-26$
$-A-7(4)=-26$
$-A-28=-26$
$-A=2$
$A=-2$    ................ Persamaan (7)

Substitusikan persamaan (7) ke (2)
$-2A+2B+C=-8$
$-2(-2)+2(4)+C=-8$
$4+8+C=-8$
$C=-20$

Jadi, persamaan lingkaran tersebut adalah $x^2+y^2-2x+4y-20=0$.

Kumpulan Soal Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri:
Persamaan Kuadrat
Logaritma
Polinomial
Trigonometri
Matriks Vektor

Persamaan Kuadrat: Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri

Soal 1. SIMAK UI 2013
Misalkan $x^2 + b_{1}x+c_1=0$ mempunyai akar-akar $\alpha$ dan $\beta$, dengan $(\alpha - \beta)^2 = 4$. Jika $x^2 + b_{2}x+c_2=0$ mempunyai akar-akar $\alpha + \beta$ dan $\alpha - \beta$, maka rasio $c_2 : b_1$ yang mungkin adalah ....
A. 2 : 1
B. 1 : 2
C. 1 : 1
D. 1 : 3
E. 3 : 1
Pembahasan:
$(\alpha - \beta)^2 = 4 \leftrightarrow \alpha - \beta = -2$ atau $\alpha - \beta = 2$

$x^2 + b_{1}x+c_1=0$ mempunyai akar-akar $\alpha$ dan $\beta$ sehingga diperoleh
$\alpha + \beta = -b_1$

$x^2 + b_{2}x+c_2=0$ mempunyai akar-akar $\alpha + \beta$ dan $\alpha - \beta$, sehingga diperoleh
$(\alpha + \beta)(\alpha - \beta) = c_2$

(i) Jika $\alpha - \beta = -2$, maka
$c_2 = (\alpha + \beta)(\alpha - \beta)=(-b_1)(-2)=2b_1$.
Akibatnya,
$\frac{c_2}{b_1}=\frac{2b_1}{b_1}=2$

(ii) Jika $\alpha - \beta = 2$, maka
$c_2 = (\alpha + \beta)(\alpha - \beta)=(-b_1)(2)=-2b_1$.
Akibatnya,
$\frac{c_2}{b_1}=\frac{-2b_1}{b_1}=-2$

Jadi, rasio $c_2 : b_1 = 2 : 1$

Soal 2. SIMAK UI 2012
Akar-akar positif dari persamaan kuadrat $x^2 +mx+n=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$. Jika $2\beta - \alpha = 12$ dam $\alpha^2 = 4\beta$, maka $m+n=$....
A. $-39$
B. $-16$
C. $0$
D. $16$
E. $39$
Pembahasan: A
$\alpha>0$ dan $\beta > 0$

$2\beta - \alpha = 12 \leftrightarrow 2\beta = \alpha + 12$

$\alpha^2 = 4\beta$
$\leftrightarrow \alpha^2 = 2 (2\beta)$
$\leftrightarrow \alpha^2 = 2 (\alpha + 12)$
$\leftrightarrow \alpha^2 = 2 \alpha + 24$
$\leftrightarrow \alpha^2 - 2 \alpha - 24=0$
$\leftrightarrow (\alpha -6)(\alpha+4)=0$
$\leftrightarrow \alpha = 6$ atau $\alpha = -4$
Karena $\alpha >0$ maka $\alpha =6$, sehingga
$2\beta = \alpha + 12 \leftrightarrow 2\beta = 6 + 12=18 \leftrightarrow \beta=9$

$x^2 +mx+n=0$ mempunyai akar-akar $\alpha$ dan $\beta$, sehingga diperoleh
$\alpha + \beta = -m \leftrightarrow 6+9=-m \leftrightarrow m=-15$
$\alpha \cdot \beta = n \leftrightarrow 6\cdot 9 =n \leftrightarrow n=54$

Jadi, $m+n=(-15)+54=-39$

Soal 3. SIMAK UI 2014
Jika $m$ dan $n$ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat $2x^2 +x-2=0$, maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah $m^3 - n^2$ dan $n^3 - m^2$ adalah ....
A. $32x^2 +101 x - 124 =0$
B. $32x^2 -101 x + 124 =0$

C. $-32x^2 +101 x - 124 =0$

D. $-32x^2 -101 x - 124 =0$

E. $-32x^2 +101 x + 124 =0$

Pembahasan: Tidak ada jawaban

$2x^2 +x-2=0$ memiliki akar-akar $m$ dan $n$, sehingga
$m+n=-\frac{1}{2}$
$mn=-1$

$(m^3 - n^2)+(n^3 - m^2) = (m^3 + n^3) - (m^2+n^2)$
$(m^3 - n^2)+(n^3 - m^2) = [(m + n)^3 - 3mn(m+n)] - [(m+n)^2 - 2mn]$
$(m^3 - n^2)+(n^3 - m^2) = [(-\frac{1}{2})^3 - 3(-1)(-\frac{1}{2})] - [(-\frac{1}{2})^2 - 2(-1)]$

$(m^3 - n^2)+(n^3 - m^2) = [-\frac{1}{8} - \frac{3}{2})] - [\frac{1}{4} +2]$

$(m^3 - n^2)+(n^3 - m^2) = (-\frac{13}{8}) - (\frac{9}{4})$

$(m^3 - n^2)+(n^3 - m^2) = -\frac{31}{8}$

$(m^3 - n^2)(n^3 - m^2) = (mn)^3 -m^5 -n^5 + (mn)^2$
$(m^3 - n^2)(n^3 - m^2) = (-1)^3 -(m^5 + n^5) + (-1)^2$

Mencari $m^5 + n^5$
Dengan menggunakan binomial newton atau boleh juga menggunakan segitiga pascal, diperoleh bahwa
$(m+n)^5= m^5 +5m^4n+10m^3 n^2+ 10m^2n^3+5mn^4+n^5$
$m^5 + n^5= (m+n)^5 - 5m^4n - 10m^3 n^2 - 10m^2n^3 - 5mn^4$
$m^5 + n^5= (m+n)^5 - 5m^4n - 5mn^4 - 10m^3 n^2 - 10m^2n^3$
$m^5 + n^5= (m+n)^5 - 5mn(m^3 + n^3) - 10(mn)^2(m+n)$
$m^5 + n^5= (-\frac{1}{2})^5 - 5(-1)(-\frac{13}{8}) - 10(-1)^2(-\frac{1}{2})$
$m^5 + n^5= -\frac{1}{32} - \frac{65}{8}) - 10(1)(-\frac{1}{2})$
$m^5 + n^5= -\frac{1}{32}) -\frac{65}{8})+5$
$m^5 + n^5= \frac{-1-260+160}{32})$
$m^5 + n^5=  -\frac{101}{32})$

$(m^3 - n^2)(n^3 - m^2) = -1 -( -\frac{101}{32})) + 1$
$(m^3 - n^2)(n^3 - m^2) = \frac{101}{32}$

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah $m^3 - n^2$ dan $n^3 - m^2$ adalah
$x^2 - ((m^3 - n^2)+(n^3 - m^2))x + (m^3 - n^2)(n^3 - m^2)=0$
$x^2 - (-\frac{31}{8})x + \frac{101}{32}=0$
------------------------------------------ (Kalikan kedua ruas dengan 32)
$32x^2 +124x + 101=0$

Soal 4. Sipenmaru 2016
Diketahui akar-akar persamaan kuadrat $x^2 -px+p+1=0$ adalah $x_1$ dan $x_2$. Jika ${x_1}^2 +{x_2}^2 =6$ maka nilai $p=$ ...
A. $-2$ atau $4$
B. $-3$ atau $5$
C. $-4$ atau $2$
D. $-5$ atau $3$
E. $-6$ atau $1$
Pembahasan: A
$x^2 -px+p+1=0$ mempunyai akar-akar $x_1$ dan $x_2$, sehingga
$x_1 + x_2 = p$
$x_1 x_2 = p+1$

${x_1}^2 +{x_2}^2 =6$
$(x_1 + x_2)^2 -2x_1 x_2 =6$
$p^2 - 2(p+1)=6$
$p^2 -2p -2=6$
$p^2 -2p -8 =0$
$(p+2)(p-4)=0$
$p=-2$ atau $p=4$

Soal 5. Sipenmaru 2017
Diketahui akar-akar persamaan kuadrat $x^2 +px-3p+1=0$ adalah $x_1$ dan $x_2$. Jika ${x_1}^2 +{x_2}^2 =5$ maka nilai $p=$ ...
A. $-8$ atau $0$
B. $-7$ atau $1$
C. $-6$ atau $2$
D. $-5$ atau $3$
E. $-4$ atau $4$
Pembahasan: B
$x^2 +px-3p+1=0$ mempunyai akar-akar $x_1$ dan $x_2$, sehingga
$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 x_2 = -3p+1$

${x_1}^2 +{x_2}^2 =5$
$(x_1 + x_2)^2 -2x_1 x_2 =5$
$(-p)^2 - 2(-3p+1)=5$
$p^2 +6p -2=5$
$p^2 +6p -7 =0$
$(p+7)(p-1)=0$
$p=-7$ atau $p=1$

Kumpulan Soal Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri:
Logaritma
Polinomial
Trigonometri
Lingkaran
Vektor

Logaritma: Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri

Soal 1. SIMAK UI 2014
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $log{|x+1|}\geq log{3} + log{|2x-1|}$ adalah ....
A. $\{x\in \mathbb{R} |  \frac{2}{7} \leq x \leq \frac{4}{5}, x \neq \frac{1}{2}\}$
B. $\{x\in \mathbb{R} |  \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{4}{5}\}$
C. $\{x\in \mathbb{R} |  \frac{2}{7} \leq x \leq \frac{4}{5}\}$
D. $\{x\in \mathbb{R} |  x \leq -1 \ atau\ x > \frac{1}{2}\}$
E. $\{x\in \mathbb{R} |  x \leq \frac{4}{5}, x \neq \frac{1}{2}\}$
Pembahasan: A
$log{|x+1|}\geq log{3} + log{|2x-1|}$
$log{|x+1|}\geq log{3|2x-1|}$
$log{|x+1|}\geq log{|6x-3|}$
$|x+1|\geq |6x-3|$
$(x+1)^2\geq (6x-3)^2$
$x^2 +2x+1 \geq 36x^2 -36x+9$
$-35x^2 +38x -8x \geq 0$
$35x^2 -38x + 8x \leq 0$
$(7x-2)(5x-4) \leq 0$
Pembuat nol: $x=\frac{2}{7}$ atau $\frac{4}{5}$

Syarat: Ingat bahwa numerus dalam logaritma haruslah $> 0$ sehingga
$x+1\neq 0 \leftrightarrow x\neq -1$ dan $2x-1\neq0 \leftrightarrow x \neq \frac{1}{2}$

Hp = $\{x\in \mathbb{R} |  \frac{2}{7} \leq x \leq \frac{4}{5}, x \neq \frac{1}{2}\}$

Soal 2. SBMPTN 2014
Penyelesaian pertidaksamaan $^{1-|x|}\log {3x-1}<1$ adalah ....
A. $\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{3} < x < \frac{2}{3}$
C. $\frac{1}{3} < x < 1$
D. $\frac{1}{2} < x < \frac{2}{3}$
E. $\frac{1}{2} < x < 1$
Pembahasan: E.
Syarat,
(i) numerus dalam logaritma harus $>0$
$3x-1>0$
$3x > 1$
$x>\frac{1}{3}$

(ii) basis harus $>0$ dan $\neq 1$
$1-|x|>0$
$-|x|>-1$
$|x|<1$
$-1<x<1$, dan
$1-|x|\neq 1$
$-|x| \neq 0$
$|x| \neq 0$

Berdasarkan kedua syarat tersebut, diperoleh bahwa nilai x yang memenuhi terletak pada interval \frac{1}{3}<x<1

Ketaksamaan numerus
$^{1-|x|}\log {3x-1}<1$
$^{1-|x|}\log {3x-1}<^{1-|x|}\log {1-|x|}$
${3x-1}>1-|x|$, (karena \frac{1}{3}<x<1, maka 1-|x|<1)
$3x-2>-|x|$
$|x|>2-3x$
$x^2 > (2-3x)$
$x^2 > 4 - 12x + 9x^2$
$-8x^2 +12x-4 >0$
$2x^2 -3x+1<0$
$(2x-1)(x-1)<0$
Pembuat nol: $x=\frac{1}{2}$ atau $x=1$

$\frac{1}{2}<x<1$.

Jadi, himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan tersebut yaitu$\frac{1}{2}<x<1$

Soal 3. Sipenmaru 2016
$^{2}\log {3}=1$ dan $^{2}\log {7}=b$ maka $^{6}\log {28}=$ ....
A. $\frac{a+1}{2b+ab}$
B. $\frac{a-2}{a+ab}$
C. $\frac{a+1}{b+2}$
D. $\frac{b+1}{a+b}$
E. $\frac{b+2}{a+1}$
Pembahasan:E
$^{6}\log {28}=\frac{^{2}\log {28}}{^{2}\log {6}}=\frac{^{2}\log {7\cdot 4}}{^{2}\log {3\cdot 2}}=\frac{^{2}\log {7}+^{2}\log {4}}{^{2}\log {3}+^{2}\log {2}}=\frac{b+2}{a+1}$

Kumpulan Soal dan Pembahasan Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri:
Persamaan Kuadrat