Goes to Mathematics Olympiad (Random 1)

Hai, readers. Kali ini saya ingin sekali membahas beberapa soal-soal dari berbagai kontes, kompetisi, maupun olimpiade matematika yang pernah diselenggarakan di Indonesia.

Soal 1. Road to ASMOPSS 2018: Matematika SMP

Diketahui bahwa $m$ dan $n$ adalah bilangan bulat positif dan $m+n+mn=76$

Berapakah nilai $m+n$?

A. 12

B. 14

C. 16

D. 18

E. 20

Jawab: C

$m+n+mn=26$

$1+m+n+mn=1+76$ 

$(1+m)(1+n)=77$

Jika $(1+m)(1+n)=1\times 77$, maka salah satu dari $m$ atau $n$ pastilah 0. Jadi, $(1+m)(1+n)=7\times 11$ sehingga diperoleh $m=6$, $n=10$, dan $m+n=16$. 

Soal 2. Road to ASMOPSS 2018: Matematika SMP

Jika $x$ adalah sebuah bilangan yang terdiri dari 27 angka 1, berapakah sisanya jika $x$ dibagi 27?

A. 26

B. 22

C. 18

D. 4

E. 0

Jawab: E

$x=111.111.111.111.111.111.111.111.111$

$x=111.111.111\times (1.000.000.000.000.000.000+1.000.000.000+1)$

$x=111.111.111\times (1.000.000.001.000.000.001)$

Perhatikan bahwa 111.111.111 habis dibagi 9 karena jumlah digit-digitnya habis dibagi 9, dan 1.000.000.001.000.000.001 habis dibagi 3 karena jumlah digit-digitnya habis dibagi 3. Oleh karena itu, $x$ habis dibagi 27.

(Cr: Akal)

Soal 3. LMNAS 29 UGM:Babak Penyisihan SMA

Misalkan $N=(1!)^3+(2!)^3+...+(2018!)$ . Jika tiga digit terakhir dari N adalah $\overline{abc}$, maka nilai $a+b+c$ adalah ....

A. 9

B. 10

C. 11

D. 12

E. 13

Jawab: E

Perhatikan bahwa 3 digit terakhir dari $5!$, $6!$, hingga $ 2018!$ adalah 000 sehingga ntuk menentukan 3 digit terakhir dari N cukup kita hanya perlu memperhatikan tiga digit terakhir  dari $1$, $2!$, $3!$, dan $4!$, yaitu $001+008+216+824=1049$. Jadi, $\overline{abc}=049$ dan $a+b+c=0+4+9=13$

Tes Kelas Unggulan VII SMP (Matematika) 2018

Soal 1
Bentuk sederhana dari $5x+3y-2x+2y$ adalah ....
A. $2y+4x$
B. $3y-2x$
C. $2x-3y$
D. $3x+5y$
Jawab:D
$5x+3y-2x+2y = 5x-2x + 3y +2y=3x+5y$

Soal 2
Hasil pengurangan $(y-4x)$ dari $(2x-3y)$ adalah ....
A. $6x+4y$
B. $-2x+6y$
C. $6x-2y$
D. $6x-4y$
Jawab: D
$(2x-3y)-(y-4x)=2x-3y-y+4x=2x+4x-3y-y=6x-4y$

Soal 3
Hasil kali bentuk $(x-1)(x+2)(x-3)$ adalah ....
A. $x^3 -7x^2 -9$
B. $x^3 +15x -9$
C. $x^3 -2x^2 -5x+6$
D. $x^3-2x^2 -5x-6$
Jawab: C
$(x-1)(x+2)=x^2 +2x -x-2 =x^2 +x-2$
$(x^2 +x-2)(x-3)=x^3-3x^2+x^2-3x-2x+6=x^3 -2x^2-5x+6$

Soal 4
Pemfaktoran dari $\pi r-\pi rs$ adalah ....
A. $\pi r(2+s)$
B. $\pi r^2(2+s)$
C. $2\pi r(1+s)$
D. $\pi r(1-s)
Jawab: D
$\pi r-\pi rs=\pi r \cdot 1 -\pi rs = \pi r (1-s)$

Pembuktian dengan Induksi Matematika

Ilustrasi induksi matematika

Dalam matematika, induksi matematika merupakan suatu cara pembuktian yang cukup umum digunakan. Pembuktian ini seringkali digambarkan dengan menggunakan sederetan batu bata yang telah disusun sedemikian hingga jika kita menjatuhkan salah satu bata ke arah bata di belakangnya, maka bata-bata yang ada di belakangnya tersebut akan ikut jatuh. Bata-bata tersebut akan ikut jatuh hanya dengan kondisi:
(i)  Setidaknya satu diantara bata-bata tersebut jatuh
(ii) Jarak antar deretan bata lebih kecil daripada tinggi bata.

Dalam induksi matematika, bata-bata tersebut merupakan bilangan asli dan jatuhnya bata tersebut adalah teorema/pernyataan yang ingin kita buktikan. Pembuktian ini dilakukan dengan memeriksa:
(i)  Pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan asli $n_0$,
(ii) Andaikan pernyataan tersebut benar untuk bilangan asli $n=k$, maka pernyataan tersebut juga harus benar untuk $n=k+1$.
Jika keduanya terpenuhi, maka pernyataan tersebut terbukti benar untuk semua bilangan asli $n>=n_0$.

Contoh 1.
Buktikan dengan induksi matematika $1+2+3+4+...+n= \frac{n(n+1)}{2}$.
Penyelesaian:
(i) Akan ditunjukkan bahwa $p(n)$ benar untuk $n=1$
Jelas bahwa,
$1=\frac{1(1+1)}{2}$
$1=1$
Jadi, $p(n)$ benar untuk $n=1$
(ii) Andaikan $p(n)$ benar untuk $n=k$ sehingga dipunyai $1+2+3+4+...+k= \frac{k(k+1)}{2}$.
Akan dibuktikan bahwa $p(n)$ benar untuk $n=k+1$.
(yang akan dibuktikan yaitu $1+2+3+4+...+(k+1)= \frac{(k+1)(k+2)}{2}$
$1+2+3+4+...+(k+1)=1+2+3+4+...+k+(k+1)$ ingat bahwa dalam urutan bilangan asli bilangan $k$ muncul sebelum bilangan $k+1$
$\leftrightarrow 1+2+3+4+...+(k+1)= \frac{k(k+1)}{2} + k+1$
$\leftrightarrow 1+2+3+4+...+(k+1)= \frac{k(k+1)}{2} + \frac{2(k+1)}{2}$
$\leftrightarrow 1+2+3+4+...+(k+1)= \frac{k(k+1)+2(k+1)}{2}$
$\leftrightarrow 1+2+3+4+...+(k+1)= \frac{(k+1)(k+2)}{2}$
Jadi, $p(n)$ juga benar untuk $n=k+1$

Karena pernyataan tersebut memenuhi kedua syarat induksi, maka pernyataan tersebut benar.

Contoh 2.
Buktikan dengan induksi matematika $2+4+6+8+...+2n= n(n+1)$.
Penyelesaian:
(i) Akan ditunjukkan bahwa $p(n)$ benar untuk $n=1$
Jelas bahwa,
$2\cdot 1=1(1+1)$
$2=2$
Jadi, $p(n)$ benar untuk $n=1$
(ii) Andaikan $p(n)$ benar untuk $n=k$ sehingga dipunyai $2+4+6+8+...+2k= k(k+1)$.
Akan dibuktikan bahwa $p(n)$ benar untuk $n=k+1$.
(yang akan dibuktikan yaitu $2+4+6+8+...+2(k+1)= (k+1)(k+2)$)
$2+4+6+8+...+2(k+1)=2+4+6+8+...+2k+2(k+1)$ ingat bahwa dalam urutan bilangan asli bilangan $k$ muncul sebelum bilangan $k+1$
$\leftrightarrow 2+4+6+8+...+2(k+1)= k(k+1)+ 2(k+1)$
$\leftrightarrow 2+4+6+8+...+2(k+1)= (k+1)(k+2)$ diperoleh dengan memanfaatkan sifat distributif
Jadi, $p(n)$ juga benar untuk $n=k+1$

Diperoleh bahwa pernyataan tersebut memenuhi kedua syarat induksi, maka pernyataan $2+4+6+8+...+2n= n(n+1)$ terbukti benar.

Contoh 3.
Buktikan dengan induksi matematika $1+3+5+...+(2n-1)= n^2$.
Penyelesaian:
(i) Akan ditunjukkan bahwa $p(n)$ benar untuk $n=1$
Jelas bahwa,
$2\cdot 1 - 1=1^2$
$1=1$
Jadi, $p(n)$ benar untuk $n=1$
(ii) Andaikan $p(n)$ benar untuk $n=k$ sehingga dipunyai $1+3+5+...+(2k-1)= k^2$.
Akan dibuktikan bahwa $p(n)$ benar untuk $n=k+1$.
(yang akan dibuktikan yaitu $1+3+5+...+(2(k+1)-1)= (k+1)^2$
$1+3+5+...+(2(k+1)-1)= 1+3+5+...+(2k-1)+(2(k+1)-1)$ ingat bahwa dalam urutan bilangan asli bilangan $k$ muncul sebelum bilangan $k+1$
$\leftrightarrow 1+3+5+...+(2(k+1)-1)= k^2+(2(k+1)-1)$
$\leftrightarrow 1+3+5+...+(2(k+1)-1)= k^2+(2k+2-1)$
$\leftrightarrow 1+3+5+...+(2(k+1)-1)= k^2+2k+1$
$\leftrightarrow 1+3+5+...+(2(k+1)-1)= (k+1)^2$
Jadi, $p(n)$ juga benar untuk $n=k+1$

Diperoleh bahwa pernyataan tersebut memenuhi kedua syarat induksi, maka pernyataan $1+3+5+...+(2n-1)= n^2$ terbukti benar.

Contoh 4.
Buktikan dengan induksi matematika $1\cdot 2+2 \cdot 3+ 3\cdot 4+ 4\cdot 5+...+n(n+1)= \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$.
Penyelesaian:
(i) Akan ditunjukkan bahwa $p(n)$ benar untuk $n=1$
Jelas bahwa,
$1\cdot 2=\frac{1(1+1)(1+2)}{3}$
$2=2$
Jadi, $p(n)$ benar untuk $n=1$
(ii) Andaikan $p(n)$ benar untuk $n=k$ sehingga dipunyai $1\cdot 2+2 \cdot 3+ 3\cdot 4+ 4\cdot 5+...+k(k+1)= \frac{k(k+1)(k+2)}{3}$.
Akan dibuktikan bahwa $p(n)$ benar untuk $n=k+1$.
(yang akan dibuktikan yaitu $1\cdot 2+2 \cdot 3+ 3\cdot 4+ 4\cdot 5+...+(k+1)(k+2)= \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$
$1\cdot 2+2 \cdot 3+ 3\cdot 4+ 4\cdot 5+...+(k+1)(k+2)= 1\cdot 2+2 \cdot 3+ 3\cdot 4+ 4\cdot 5+...+k(k+1)+(k+1)(k+2)$ ingat bahwa dalam urutan bilangan asli bilangan $k$ muncul sebelum bilangan $k+1$
$\leftrightarrow 1\cdot 2+2 \cdot 3+ 3\cdot 4+ 4\cdot 5+...+(k+1)(k+2)= \frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2)$
$\leftrightarrow 1\cdot 2+2 \cdot 3+ 3\cdot 4+ 4\cdot 5+...+(k+1)(k+2)= \frac{k(k+1)(k+2)}{3}+\frac{3(k+1)(k+2)}{3}$ diperoleh dengan menyamakan penyebut
$\leftrightarrow 1\cdot 2+2 \cdot 3+ 3\cdot 4+ 4\cdot 5+...+(k+1)(k+2)= \frac{k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)}{3}$
$\leftrightarrow 1+3+5+...+(2(k+1)-1)= \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$ diperoleh dengan memanfaatkan sifat distributif
Jadi, $p(n)$ juga benar untuk $n=k+1$

Diperoleh bahwa pernyataan tersebut memenuhi kedua syarat induksi, maka pernyataan $1\cdot 2+2 \cdot 3+ 3\cdot 4+ 4\cdot 5+...+n(n+1)= \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$ terbukti benar.

Contoh 5.
Buktikan dengan induksi matematika $\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+...+\frac{1}{n(n+1)}= \frac{n}{n+1}$.
Penyelesaian:
(i) Akan ditunjukkan bahwa $p(n)$ benar untuk $n=1$
Jelas bahwa,
$1\cdot 2=\frac{1(1+1)(1+2)}{3}$
$2=2$
Jadi, $p(n)$ benar untuk $n=1$
(ii) Andaikan $p(n)$ benar untuk $n=k$ sehingga dipunyai $\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+...+\frac{1}{k(k+1)}= \frac{k}{k+1}$.
Akan dibuktikan bahwa $p(n)$ benar untuk $n=k+1$.
(yang akan dibuktikan yaitu $\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+...+\frac{1}{(k+1)(k+2)}= \frac{k+1}{k+2}$)
$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+...+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+...+\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}$ ingat bahwa dalam urutan bilangan asli bilangan $k$ muncul sebelum bilangan $k+1$
$\leftrightarrow \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+...+\frac{1}{(k+1)(k+2)}= \frac{k}{(k+1)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}$
$\leftrightarrow \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+...+\frac{1}{(k+1)(k+2)}= \frac{k(k+2)+1}{(k+1)(k+2)}$
$\leftrightarrow \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+...+\frac{1}{(k+1)(k+2)}= \frac{k^2+2k+1}{(k+1)(k+2)}$
$\leftrightarrow \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+...+\frac{1}{(k+1)(k+2)}= \frac{(k+1)(k+1)}{(k+1)(k+2)}$
$\leftrightarrow \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+...+\frac{1}{(k+1)(k+2)}= \frac{(k+1)}{(k+2)}$
Jadi, $p(n)$ juga benar untuk $n=k+1$

Diperoleh bahwa pernyataan tersebut memenuhi kedua syarat induksi, maka pernyataan $\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+...+\frac{1}{n(n+1)}= \frac{n}{n+1}$ terbukti benar.

Contoh 6.
Buktikan dengan induksi matematika bahwa
Penyelesaian:

Soal dan Pembahasan Limit Fungsi

Soal 1.
$\lim_{x \to 0}{2x-1}= 2(0)-1=-1$

Turunan: Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri

Soal 1. SBMPTN 2017
Misalkan $f(x)=sin{(cos^2{x})}$, maka $f'(x)=....$
A. $-2 sin{x}\cdot cos{(cos^2{x})}$
B. $-2 sin{2x}\cdot cos{(cos^2{x})}$
C. $- sin{x}\cdot cos{(cos^2{x})}$
D. $- sin{2x}\cdot cos{(cos^2{x})}$
E. $- sin^2{x}\cdot cos{(cos^2{x})}$
Pembahasan: D
$f(x)=sin{(cos^2{x})}$
$f'(x)=2cos{x}\cdot (-sin{x})\cdot cos{(cos^2{x})}$
$f'(x)=-2 sin{x}\cdot cos{x}\cdot cos{(cos^2{x})}$
$f'(x)=-sin{2x}\cdot cos{(cos^2{x})}$

Soal 2. SBMPTN 2017
Jika garis singgung dari kurva $y=x^3+a\sqrt{x}$ di titik $(1,b)$ adalah $y=ax-c$, maka $a+b+c=....$
A. $10$
B. $11$
C. $12$
D. $13$
E. $14$
Pembahasan: C
Garis singgung kurva adalah $y=ax-c$ sehingga gradien garis singgung tersebut adalah $m=a$
Perhatikan bahwa gradien dari suatu kurva adalah turunan pertamanya, sehingga
$m=y'$
$a=3x^2+\frac{a}{2\sqrt{x}}$
Garis singgung melalui titik (1,b) sehingga persamaan tersebut menjadi
$a=3(1)^2+\frac{a}{2\sqrt{1}}$
$a=3+\frac{a}{2}$
                                 ($\times 2$)
$2a=6+a$
$a=6$

Kurva $y=x^3+a\sqrt{x}=x^3+6\sqrt{x}$ melalui titik $(1,b)$, maka
$b=1^3+6\sqrt{1}$
$b=1+6$
$b=7$

Garis singgung $y=ax-c$ melalui $(1, b)=(1,7)$, maka
$7=6-c$
$c=-1$

Jadi, nilai $a+b+c=6+7+(-1)=12$.

Soal 3. Sipenmaru 2017
Sebuah mobil bergerak sepanjang garis lurus. Jika jarak yang ditempuh dinyatakan dengan $s(t)=10t^3-25t^2+50t$ maka percepatan mobil pada saat $t=10$ detik adalah ....
A. $8000\ m/detik^2$
B. $2550\ m/detik^2$
C. $550\ m/detik^2$
D. $300\ m/detik^2$
E. $60\ m/detik^2$
Pembahasan: C
Perhatikan bahwa persamaan percepatan adalah $a=s''$.
$s'(t)=30t^2-50t+50$
$s''(t)=60t-50$
$a(t)=s''(t)$
$a(t)=60t-50$
$a(10)=60(10)-50$
$a(10)=600-50=550$

Soal 4. Sipenmaru 2016
Jika suatu proyek akan diselesaikan dalam $x$ hari, maka biaya proyek perhari adalah $(x+\frac{500}{x}-40)$ juta rupiah. Biaya minimum proyek tersebut adalah ....
A. Rp150.000.000,00
B. Rp125.000.000,00
C. Rp100.000.000,00
D. Rp75.000.000,00
E. Rp50.000.000,00
Pembahasan: C
Misalkan $y$ adalah fungsi yang menyatakan biaya yang dikeluarkan untuk proyek tersebut.
$y=x(x+\frac{500}{x}-40)$ juta rupiah
$y=x^2+500-40x$  juta rupiah
$y=x^2-40x+500$  juta rupiah.

Biaya minimum dapat diperoleh saat $y'=0$
$y=x^2-40x+500$
$y'=2x-40$
$0=2x-40$
$2x=40$
$x=20$.
Jadi, biaya minimumnya adalah $y=(20)^2-40(20)+500=400-800+500=100$ juta rupiah.

Kumpulan Soal Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri:
Persamaan Kuadrat
Logaritma
Polinomial
Trigonometri
Lingkaran
Vektor

UN Matematika SMP 2018

Soal 1.
Hasil dari $6\times (-7+4) : (-6-3)= ....$
A. $-6$
B. $-2$
C. $2$
D. $6$
Pembahasan: C
$6\times (-7+4) : (-6-3)=6\times (-3) : (-9)= (-18) : (-9) =2$

Soal 2.
Hasil dari $\frac{\frac{3}{5} + \frac{1}{2}}{\frac{3}{5} - \frac{1}{2}}$ adalah ....
A. $\frac{1}{10}$
B. $\frac{1}{11}$
C. $10$
D. $11$
Pembahasan: D

$\frac{\frac{3}{5} + \frac{1}{2}}{\frac{3}{5} - \frac{1}{2}}=\frac{\frac{6+5}{10}}{\frac{6-5}{10}}=\frac{\frac{11}{10}}{\frac{1}{10}}=\frac{11}{1}=11$

Soal 3.
Suhu udara di wilayah Jakarta $25^{\circ}C$. Di saat yang sama suhu udara di wilayah Tokyo Jepang $-6^{\circ}C$. Berapakah perbedaan suhu di kedua wilayah tersebut?
A. $31^{\circ}C$
B. $19^{\circ}C$
C. $-19^{\circ}C$
D. $-31^{\circ}C$
Pembahasan:
$25^{\circ}C - (-6^{\circ}C)=25^{\circ}C +6^{\circ}C=31^{\circ}C$

Soal 4.
Panitia kegiatan sosial menerima sumbangan gula pasir beratnya $22\frac{3}{4}$ kg, $25\frac{1}{2}$ kg, dan $24\frac{1}{4}$ kg untuk dibagikan kepada sekelompok warga. Setiap warga menerima $2\frac{1}{2}$ kg. Berapa banyak warga yang menerima gula pasir tersebut?
A. $36$
B. $35$
C. $29$
D. $27$
Pembahasan:
Banyak gula pasir yang diterima:
$22\frac{3}{4}+25\frac{1}{2}+24\frac{1}{4} = (22+25+24) + (\frac{3}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4})=71 + (\frac{3}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2})=71 + (1+\frac{1}{2})=72\frac{1}{2}$
Banyak warga:
$72\frac{1}{2}: 2\frac{1}{2} = \frac{145}{2} : \frac {5}{2}=\frac{145}{2} \times \frac {2}{5}=\frac {145}{5}=29$

Soal 5.
Hasil dari $(-5)^3 +(-5)^2 +(-5)^1 +(-5)^0$ adalah ....
A. $156$
B. $30$
C. $-104$
D. $-105$
Pembahasan: C
$(-5)^3 +(-5)^2 +(-5)^1 +(-5)^0= -125 + 25 +(-5) +1=-104$

Soal 6.
Hasil dari $\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}$ adalah ....
A. $-24 + 14 \sqrt{3}$
B. $24 + 14 \sqrt{3}$
C. $24 - 14 \sqrt{3}$
D. $-24 - 14 \sqrt{3}$
Pembahasan: A
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{4\cdot 3\sqrt{2} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}} \times \frac{3\sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{(12\sqrt{2} - 6 \sqrt{6})(3\sqrt{2} - 2 \sqrt{6})}{(3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{6})^2}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{36 \cdot 2 - 24 \cdot \sqrt{12} - 18\sqrt{12} + 12 \cdot 6}{18-24}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{72 - 24 \cdot 2\sqrt{3} - 18\cdot 2\sqrt{3} + 72 }{18-24}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{72 - 24 \cdot 2\sqrt{3} - 18\cdot 2\sqrt{3} + 72 }{-6}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{72 - 48\sqrt{3} - 36\sqrt{3} + 72}{-6}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{144 - 84\sqrt{3}}{-6}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=-24 + 14 \sqrt{3}$

Soal 7.
Tiga suku berikutnya dari barisan 2, 3, 7, 16, ... adalah ....
A. $-24 + 14 \sqrt{3}$
B. $24 + 14 \sqrt{3}$
C. $24 - 14 \sqrt{3}$
D. $-24 - 14 \sqrt{3}$
Pembahasan: A
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{4\cdot 3\sqrt{2} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}} \times \frac{3\sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{(12\sqrt{2} - 6 \sqrt{6})(3\sqrt{2} - 2 \sqrt{6})}{(3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{6})^2}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{36 \cdot 2 - 24 \cdot \sqrt{12} - 18\sqrt{12} + 12 \cdot 6}{18-24}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{72 - 24 \cdot 2\sqrt{3} - 18\cdot 2\sqrt{3} + 72 }{18-24}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{72 - 24 \cdot 2\sqrt{3} - 18\cdot 2\sqrt{3} + 72 }{-6}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{72 - 48\sqrt{3} - 36\sqrt{3} + 72}{-6}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{144 - 84\sqrt{3}}{-6}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=-24 + 14 \sqrt{3}$

Matriks: Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri

Soal 1. Sipenmaru 2016
Diketahui $A=\begin{pmatrix}2 & 1\\ 3 & 2\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}2 & 7\\ 5 & 8\end{pmatrix}$, dan $C=\begin{pmatrix}1 & -5\\ -4 & -4\end{pmatrix}$. Jika $XA=B+C$, maka matriks $X=$ ....
A. $\begin{pmatrix}-5 & 0\\ 2 & 7\end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix}5 & 0\\ 7 & 2\end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix}5 & 0\\ -7 & 2\end{pmatrix}$
D. $\begin{pmatrix}0 & 1\\ -10 & 7\end{pmatrix}$
E. $\begin{pmatrix}-1 & -1\\ 10 & 7\end{pmatrix}$
Pembahasan: D
$XA=B+C$
$X\begin{pmatrix}2 & 1\\ 3 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 7\\ 5 & 8\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1 & -5\\ -4 & -4\end{pmatrix}$
$X\begin{pmatrix}2 & 1\\ 3 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 2\\ 1 & 4\end{pmatrix}$
$X=\begin{pmatrix}3 & 2\\ 1 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 1\\ 3 & 2\end{pmatrix}^{-1}$
$X=\begin{pmatrix}3 & 2\\ 1 & 4\end{pmatrix}\frac{1}{2\cdot 2 - 1\cdot 3}\begin{pmatrix}2 & -1\\ -3 & 2\end{pmatrix}$
$X=\begin{pmatrix}3 & 2\\ 1 & 4\end{pmatrix}\frac{1}{2\cdot 2 - 1\cdot 3}\begin{pmatrix}2 & -1\\ -3 & 2\end{pmatrix}$
$X=\begin{pmatrix}3 & 2\\ 1 & 4\end{pmatrix}\frac{1}{4-3}\begin{pmatrix}2 & -1\\ -3 & 2\end{pmatrix}$
$X=\begin{pmatrix}3 & 2\\ 1 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & -1\\ -3 & 2\end{pmatrix}$
$X=\begin{pmatrix}0 & 1\\ -10 & 7\end{pmatrix}$

Kumpulan Soal Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri:
Persamaan Kuadrat
Logaritma
Polinomial
Trigonometri
Lingkaran
Vektor

Lingkaran: Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri

Soal 1. Sipenmaru 2017
Jika diameter suatu lingkaran terletak pada titik $A(3, -2)$ dan titik $B(5,8)$ maka persamaan lingkaran tersebut adalah ....
A. $x^2 +y^2 +4x-3y-4=0$
B. $x^2 +y^2 +4x-3y+1=0$
C. $x^2 +y^2 +8x+6y-3=0$
D. $x^2 +y^2 -8x+6y-2=0$
E. $x^2 +y^2 -8x-6y-1=0$
Pembahasan: E
Menentukan titik pusat lingkaran.
Titik pusat lingkaran merupakan titik tengah dari diameter ($AB$), maka
$P=(\frac{3+5}{2},\frac{-2+8}{2})$
$P=(4,3)$

Menentukan panjang jari-jari lingkaran
Panjang jari-jari lingkaran adalah setengah dari panjang diameternya (setengah dari jarak titik A ke titik B).
$r=\frac{1}{2} \sqrt{(5-3)^2 + (8-(-2))^2}=\frac{1}{2} \sqrt{4 + 100}=\frac{1}{2} \sqrt{104}=\frac{1}{2} \sqrt{4\cdot 26}=\frac{1}{2}\cdot 2 \sqrt{26}=\sqrt{26}$

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (4,3) dan memiliki jari-jari $\sqrt{26}$
$(x-4)^2 +(y-3)^2 = (\sqrt{26})^2$
$x^2 -8x+16 +y^2-6y+9 = 26$
$x^2 +y^2-8x-6y+25 - 26=0$
$x^2 +y^2-8x-6y-1=0$

Soal 2. Sipenmaru 2016
Persamaan lingkaran yang melalui titik-titik $(-3, -5)$, $(-2,2)$, dan (5, 1) adalah ....
A. $x^2 +y^2 +4x+8y-25=0$
B. $x^2 +y^2 +4x-8y-15=0$
C. $x^2 +y^2 +2x+4y-25=0$
D. $x^2 +y^2 -2x-4y-15=0$
E. $x^2 +y^2 -2x+4y-20=0$
Pembahasan: E
Suatu persamaan lingkaran dapat dinyatakan dalam $x^2 +y^2+Ax+By+C=0$
i) lingkaran melalui titik $(-3, -5)$, maka
$(-3)^2 +(-5)^2+A(-3)+B(-5)+C=0$
$9+25-3A-5B+C=0$
$-3A-5B+C=-34$ .............. Persamaan (1)

ii) Lingkaran melalui titik $(-2, -2)$, maka
$(-2)^2 +(2)^2+A(-2)+B(2)+C=0$
$4+4-2A+2B+C=0$
$-2A+2B+C=-8$ .............. Persamaan (2)

iii) Lingkaran melalui titik $(5, 1)$, maka
$(5)^2 +(1)^2+A(5)+B(1)+C=0$
$25+1+5A+B+C=0$
$5A+B+C=-26$ .............. Persamaan (3)

Eliminasi persamaan (1) dan (2)
$-3A-5B+C=-34$
$-2A+2B+C=-8$
__________________________-
$-A-7B=-26$  ................ Persamaan (4)

Eliminasi persamaan (2) dan (3)
$-2A+2B+C=-8$
$5A+B+C=-26$
__________________________-
$-7A+B=18$   ................ Persamaan (5)

Eliminasi persamaan (4) dan (5)
$-A-7B=-26$    $|\times 7|$ $-7A-49B=-182$
$-7A+B=18$       $|\times 1|$ $-7A+B=18$
                                                _____________________-
                                                        $-50B=-200$
                                                               $B=4$   ................ Persamaan (6)

Substitusikan persamaan (6) ke (4)
$-A-7B=-26$
$-A-7(4)=-26$
$-A-28=-26$
$-A=2$
$A=-2$    ................ Persamaan (7)

Substitusikan persamaan (7) ke (2)
$-2A+2B+C=-8$
$-2(-2)+2(4)+C=-8$
$4+8+C=-8$
$C=-20$

Jadi, persamaan lingkaran tersebut adalah $x^2+y^2-2x+4y-20=0$.

Kumpulan Soal Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri:
Persamaan Kuadrat
Logaritma
Polinomial
Trigonometri
Matriks Vektor

Persamaan Kuadrat: Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri

Soal 1. SIMAK UI 2013
Misalkan $x^2 + b_{1}x+c_1=0$ mempunyai akar-akar $\alpha$ dan $\beta$, dengan $(\alpha - \beta)^2 = 4$. Jika $x^2 + b_{2}x+c_2=0$ mempunyai akar-akar $\alpha + \beta$ dan $\alpha - \beta$, maka rasio $c_2 : b_1$ yang mungkin adalah ....
A. 2 : 1
B. 1 : 2
C. 1 : 1
D. 1 : 3
E. 3 : 1
Pembahasan:
$(\alpha - \beta)^2 = 4 \leftrightarrow \alpha - \beta = -2$ atau $\alpha - \beta = 2$

$x^2 + b_{1}x+c_1=0$ mempunyai akar-akar $\alpha$ dan $\beta$ sehingga diperoleh
$\alpha + \beta = -b_1$

$x^2 + b_{2}x+c_2=0$ mempunyai akar-akar $\alpha + \beta$ dan $\alpha - \beta$, sehingga diperoleh
$(\alpha + \beta)(\alpha - \beta) = c_2$

(i) Jika $\alpha - \beta = -2$, maka
$c_2 = (\alpha + \beta)(\alpha - \beta)=(-b_1)(-2)=2b_1$.
Akibatnya,
$\frac{c_2}{b_1}=\frac{2b_1}{b_1}=2$

(ii) Jika $\alpha - \beta = 2$, maka
$c_2 = (\alpha + \beta)(\alpha - \beta)=(-b_1)(2)=-2b_1$.
Akibatnya,
$\frac{c_2}{b_1}=\frac{-2b_1}{b_1}=-2$

Jadi, rasio $c_2 : b_1 = 2 : 1$

Soal 2. SIMAK UI 2012
Akar-akar positif dari persamaan kuadrat $x^2 +mx+n=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$. Jika $2\beta - \alpha = 12$ dam $\alpha^2 = 4\beta$, maka $m+n=$....
A. $-39$
B. $-16$
C. $0$
D. $16$
E. $39$
Pembahasan: A
$\alpha>0$ dan $\beta > 0$

$2\beta - \alpha = 12 \leftrightarrow 2\beta = \alpha + 12$

$\alpha^2 = 4\beta$
$\leftrightarrow \alpha^2 = 2 (2\beta)$
$\leftrightarrow \alpha^2 = 2 (\alpha + 12)$
$\leftrightarrow \alpha^2 = 2 \alpha + 24$
$\leftrightarrow \alpha^2 - 2 \alpha - 24=0$
$\leftrightarrow (\alpha -6)(\alpha+4)=0$
$\leftrightarrow \alpha = 6$ atau $\alpha = -4$
Karena $\alpha >0$ maka $\alpha =6$, sehingga
$2\beta = \alpha + 12 \leftrightarrow 2\beta = 6 + 12=18 \leftrightarrow \beta=9$

$x^2 +mx+n=0$ mempunyai akar-akar $\alpha$ dan $\beta$, sehingga diperoleh
$\alpha + \beta = -m \leftrightarrow 6+9=-m \leftrightarrow m=-15$
$\alpha \cdot \beta = n \leftrightarrow 6\cdot 9 =n \leftrightarrow n=54$

Jadi, $m+n=(-15)+54=-39$

Soal 3. SIMAK UI 2014
Jika $m$ dan $n$ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat $2x^2 +x-2=0$, maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah $m^3 - n^2$ dan $n^3 - m^2$ adalah ....
A. $32x^2 +101 x - 124 =0$
B. $32x^2 -101 x + 124 =0$

C. $-32x^2 +101 x - 124 =0$

D. $-32x^2 -101 x - 124 =0$

E. $-32x^2 +101 x + 124 =0$

Pembahasan: Tidak ada jawaban

$2x^2 +x-2=0$ memiliki akar-akar $m$ dan $n$, sehingga
$m+n=-\frac{1}{2}$
$mn=-1$

$(m^3 - n^2)+(n^3 - m^2) = (m^3 + n^3) - (m^2+n^2)$
$(m^3 - n^2)+(n^3 - m^2) = [(m + n)^3 - 3mn(m+n)] - [(m+n)^2 - 2mn]$
$(m^3 - n^2)+(n^3 - m^2) = [(-\frac{1}{2})^3 - 3(-1)(-\frac{1}{2})] - [(-\frac{1}{2})^2 - 2(-1)]$

$(m^3 - n^2)+(n^3 - m^2) = [-\frac{1}{8} - \frac{3}{2})] - [\frac{1}{4} +2]$

$(m^3 - n^2)+(n^3 - m^2) = (-\frac{13}{8}) - (\frac{9}{4})$

$(m^3 - n^2)+(n^3 - m^2) = -\frac{31}{8}$

$(m^3 - n^2)(n^3 - m^2) = (mn)^3 -m^5 -n^5 + (mn)^2$
$(m^3 - n^2)(n^3 - m^2) = (-1)^3 -(m^5 + n^5) + (-1)^2$

Mencari $m^5 + n^5$
Dengan menggunakan binomial newton atau boleh juga menggunakan segitiga pascal, diperoleh bahwa
$(m+n)^5= m^5 +5m^4n+10m^3 n^2+ 10m^2n^3+5mn^4+n^5$
$m^5 + n^5= (m+n)^5 - 5m^4n - 10m^3 n^2 - 10m^2n^3 - 5mn^4$
$m^5 + n^5= (m+n)^5 - 5m^4n - 5mn^4 - 10m^3 n^2 - 10m^2n^3$
$m^5 + n^5= (m+n)^5 - 5mn(m^3 + n^3) - 10(mn)^2(m+n)$
$m^5 + n^5= (-\frac{1}{2})^5 - 5(-1)(-\frac{13}{8}) - 10(-1)^2(-\frac{1}{2})$
$m^5 + n^5= -\frac{1}{32} - \frac{65}{8}) - 10(1)(-\frac{1}{2})$
$m^5 + n^5= -\frac{1}{32}) -\frac{65}{8})+5$
$m^5 + n^5= \frac{-1-260+160}{32})$
$m^5 + n^5=  -\frac{101}{32})$

$(m^3 - n^2)(n^3 - m^2) = -1 -( -\frac{101}{32})) + 1$
$(m^3 - n^2)(n^3 - m^2) = \frac{101}{32}$

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah $m^3 - n^2$ dan $n^3 - m^2$ adalah
$x^2 - ((m^3 - n^2)+(n^3 - m^2))x + (m^3 - n^2)(n^3 - m^2)=0$
$x^2 - (-\frac{31}{8})x + \frac{101}{32}=0$
------------------------------------------ (Kalikan kedua ruas dengan 32)
$32x^2 +124x + 101=0$

Soal 4. Sipenmaru 2016
Diketahui akar-akar persamaan kuadrat $x^2 -px+p+1=0$ adalah $x_1$ dan $x_2$. Jika ${x_1}^2 +{x_2}^2 =6$ maka nilai $p=$ ...
A. $-2$ atau $4$
B. $-3$ atau $5$
C. $-4$ atau $2$
D. $-5$ atau $3$
E. $-6$ atau $1$
Pembahasan: A
$x^2 -px+p+1=0$ mempunyai akar-akar $x_1$ dan $x_2$, sehingga
$x_1 + x_2 = p$
$x_1 x_2 = p+1$

${x_1}^2 +{x_2}^2 =6$
$(x_1 + x_2)^2 -2x_1 x_2 =6$
$p^2 - 2(p+1)=6$
$p^2 -2p -2=6$
$p^2 -2p -8 =0$
$(p+2)(p-4)=0$
$p=-2$ atau $p=4$

Soal 5. Sipenmaru 2017
Diketahui akar-akar persamaan kuadrat $x^2 +px-3p+1=0$ adalah $x_1$ dan $x_2$. Jika ${x_1}^2 +{x_2}^2 =5$ maka nilai $p=$ ...
A. $-8$ atau $0$
B. $-7$ atau $1$
C. $-6$ atau $2$
D. $-5$ atau $3$
E. $-4$ atau $4$
Pembahasan: B
$x^2 +px-3p+1=0$ mempunyai akar-akar $x_1$ dan $x_2$, sehingga
$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 x_2 = -3p+1$

${x_1}^2 +{x_2}^2 =5$
$(x_1 + x_2)^2 -2x_1 x_2 =5$
$(-p)^2 - 2(-3p+1)=5$
$p^2 +6p -2=5$
$p^2 +6p -7 =0$
$(p+7)(p-1)=0$
$p=-7$ atau $p=1$

Kumpulan Soal Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri:
Logaritma
Polinomial
Trigonometri
Lingkaran
Vektor

Logaritma: Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri

Soal 1. SIMAK UI 2014
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $log{|x+1|}\geq log{3} + log{|2x-1|}$ adalah ....
A. $\{x\in \mathbb{R} |  \frac{2}{7} \leq x \leq \frac{4}{5}, x \neq \frac{1}{2}\}$
B. $\{x\in \mathbb{R} |  \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{4}{5}\}$
C. $\{x\in \mathbb{R} |  \frac{2}{7} \leq x \leq \frac{4}{5}\}$
D. $\{x\in \mathbb{R} |  x \leq -1 \ atau\ x > \frac{1}{2}\}$
E. $\{x\in \mathbb{R} |  x \leq \frac{4}{5}, x \neq \frac{1}{2}\}$
Pembahasan: A
$log{|x+1|}\geq log{3} + log{|2x-1|}$
$log{|x+1|}\geq log{3|2x-1|}$
$log{|x+1|}\geq log{|6x-3|}$
$|x+1|\geq |6x-3|$
$(x+1)^2\geq (6x-3)^2$
$x^2 +2x+1 \geq 36x^2 -36x+9$
$-35x^2 +38x -8x \geq 0$
$35x^2 -38x + 8x \leq 0$
$(7x-2)(5x-4) \leq 0$
Pembuat nol: $x=\frac{2}{7}$ atau $\frac{4}{5}$

Syarat: Ingat bahwa numerus dalam logaritma haruslah $> 0$ sehingga
$x+1\neq 0 \leftrightarrow x\neq -1$ dan $2x-1\neq0 \leftrightarrow x \neq \frac{1}{2}$

Hp = $\{x\in \mathbb{R} |  \frac{2}{7} \leq x \leq \frac{4}{5}, x \neq \frac{1}{2}\}$

Soal 2. SBMPTN 2014
Penyelesaian pertidaksamaan $^{1-|x|}\log {3x-1}<1$ adalah ....
A. $\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{3} < x < \frac{2}{3}$
C. $\frac{1}{3} < x < 1$
D. $\frac{1}{2} < x < \frac{2}{3}$
E. $\frac{1}{2} < x < 1$
Pembahasan: E.
Syarat,
(i) numerus dalam logaritma harus $>0$
$3x-1>0$
$3x > 1$
$x>\frac{1}{3}$

(ii) basis harus $>0$ dan $\neq 1$
$1-|x|>0$
$-|x|>-1$
$|x|<1$
$-1<x<1$, dan
$1-|x|\neq 1$
$-|x| \neq 0$
$|x| \neq 0$

Berdasarkan kedua syarat tersebut, diperoleh bahwa nilai x yang memenuhi terletak pada interval \frac{1}{3}<x<1

Ketaksamaan numerus
$^{1-|x|}\log {3x-1}<1$
$^{1-|x|}\log {3x-1}<^{1-|x|}\log {1-|x|}$
${3x-1}>1-|x|$, (karena \frac{1}{3}<x<1, maka 1-|x|<1)
$3x-2>-|x|$
$|x|>2-3x$
$x^2 > (2-3x)$
$x^2 > 4 - 12x + 9x^2$
$-8x^2 +12x-4 >0$
$2x^2 -3x+1<0$
$(2x-1)(x-1)<0$
Pembuat nol: $x=\frac{1}{2}$ atau $x=1$

$\frac{1}{2}<x<1$.

Jadi, himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan tersebut yaitu$\frac{1}{2}<x<1$

Soal 3. Sipenmaru 2016
$^{2}\log {3}=1$ dan $^{2}\log {7}=b$ maka $^{6}\log {28}=$ ....
A. $\frac{a+1}{2b+ab}$
B. $\frac{a-2}{a+ab}$
C. $\frac{a+1}{b+2}$
D. $\frac{b+1}{a+b}$
E. $\frac{b+2}{a+1}$
Pembahasan:E
$^{6}\log {28}=\frac{^{2}\log {28}}{^{2}\log {6}}=\frac{^{2}\log {7\cdot 4}}{^{2}\log {3\cdot 2}}=\frac{^{2}\log {7}+^{2}\log {4}}{^{2}\log {3}+^{2}\log {2}}=\frac{b+2}{a+1}$

Kumpulan Soal dan Pembahasan Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri:
Persamaan Kuadrat