Soal dan Pembahasan Statistika

Buku Mandiri Matematika
Soal 1
KIR SMP 252 akan melakukan penelitian mengenai "Kenakalan Remaja di DKI". Populasinya adalah ....
A. Seluruh pelajar di DKI
B. seluruh siswa SMP di DKI
C. seluruh siswa nakal di DKI
D. seluruh remaja di DKI
Pembahasan: D
Penelitian tersebut mengenai kenakalan remaja di DKI sehingga subjek penelitiannya adalah Remaja di DKI sehingga populasi yang tepat yaitu seluruh remaja di DKI.

Soal 2
Sebuah LSM akan melakukan program "Rehabilitasi anak jalanan di Kota Bandung". Populasinya adalah ....
A. seluruh anak yatim piatu di kota Bandung
B. seluruh anak tunawisma pekerja jalanan di kota Bandung
C. seluruh anak putus sekolah di kota Bandung
D. seluruh anak penghuni panti asuhan di kota Bandung
Pembahasan: B
Program rehabilitasi dilakukan untuk anak jalanan yang ada di kota Bandung sehingga populasi yang tepat untuk program tersebut adalah seluruh anak tunawisma pekerja jalanan di kota Bandung.

Soal 3
Dalam sebuah penelitian, populasinya adalah tenaga kerja Indonesia. Sebaiknya sampel yang diambil adalah ....
A. para baby sitter di Malaysia
B. para pembantu rumah tangga di Singapura
C. para pekerja Indonesia di beberapa negara
D. para buruh pabrik dalam negeri
Pembahasan: C
Sampel haruslah mewakili keseluruhan populasi sehingga sampel yang tepat yaitu para pekerja Indonesia di beberapa negara.

Soal 4
Dalam sebuah penelitian, populasinya adalah kesenian tradisional Indonesia. Sebaiknya sampel yang diambil adalah ....
A. kesenian tradisional beberapa daerah di Indonesia
B. beberapa tarian tradisional Indonesia
C. beberapa kesenian tradisional Yogyakarta
D. beberapa ludruk jawa
Pembahasan: B
Sampel yang tepat untuk mewakili keseluruhan populasi yaitu beberapa tarian tradisional Indonesia.

Soal 5
Berikut ini yang bukan sampel yang baik untuk populasi "objek wisata Indonesia" adalah ....
A. wisata gunung di beberapa daerah di Indonesia
B. wisata pantai di beberapa daerah di Indonesia
C. wisata di beberapa laut di Pulau Bali
D. wisata sejarah di beberapa daerah di Indonesia
Pembahasan: C
Sampel yang kurang baik yaitu C. wisata di beberapa laut di Pulau Bali karena tidak dapat mewakili keseluruhan dari Indonesia.

Soal 6
Untuk mengetahui prestasi matematika siswa SMP kelas VIII di suatu provinsi, dicatat prestasi matematika siswa SMP di beberapa sekolah dalam provinsi itu. Populasi dan sampel dalam pengamatan itu masing-masing adalah ....
A. siswa SMP satu provinsi dan siswa SMP dari beberapa daerah
B. siswa SMP dari beberapa sekolah dan siswa SMP satu provinsi
C. prestasi matematika dari siswa SMP satu provinsi
D. prestasi matematika dari siswa SMP beberapa sekolah
Pembahasan: A
Populasi yang tepat yaitu siswa SMP di suatu provinsi dan sampelnya siswa SMP dari beberapa daerah.

Soal 7
Seseorang akan mengadakan penelitian tentang hobi siswa kelas VIII SMP di wilayah jakarta. Populasi dan samptel yang tepat dari penelitian itu masing-masing adalah ....
A. seluruh siswa kelas VIII SMP di Jakarta dan siswa kelas VIII SMP di Jakarta Timur
B. seluruh siswa kelas VIII SMP di Jakarta dan siswa kelas VIII di beberapa SMP di Jakarta
C. seluruh siswa kelas VIII SMP di Jakarta dan siswa kelas VIII di beberapa SMP Negeri Jakarta
D. beberapa siswa kelas VIII SMP di Jakarta dan beberapa siswa kelas VIII SMP swasta di Jakarta Timur
Pembahasan: B
Subjek dari penelitian tersebut adalah siswa kelas VIII SMP di wilayah Jakarta sehingga populasi yang tepat yaitu seluruh siswa kelas VIII SMP di Jakarta dan sampelnya adalah siswa kelas VIII SMP di beberapa SMP di Jakarta, tidak hanya SMP Negeri atau swasta saja dan tidak boleh mengambil satu kawasan saja.

Soal 8
Di antara sampel-sampel berikut:
(i)   Harimau Sumatera
(ii)  Burung Kasuari Papua
(iii) Kanguru
Sampel yang baik dari populasi binatang buas yang langka adalah ....
A. (i)
B. (ii)
C. (iii)
D. (i) dan (iii)
Pembahasan: A
Sampel yang termasuk hewan buas yang langka yaitu harimau sumatera.

Soal 9
Akan diselidiki pengaruh ekstrakurikuler terhadap pengembangan diri siswa di sebuah SMP. Contoh sampel yang baik untuk penelitian tersebut adalah ....
A. siswa-siswa di SMP tersebut.
B. siswa-siswa yang mengikuti ekstrakurikuler di SMP tersebut
C. beberapa siswa dari tiap kelas baik yang ikut ekstrakurikuler atau tidak di SMP tersebut.
D. beberapa siswa yang mengikuti ekstrakurikuler di masing-masing kelas di SMP tersebut
Pembahasan: C
Sampel yang baik yaitu beberapa siswa dari tiap kelas baik yang mengikuti ekstrakurikuler atau tidak di SMP tersebut

Soal 10
(i) semua siswa yang memiliki prestasi belajar matematika di sebuah daerah
(ii) semua siswa yang memiliki prestasi belajar matematika di beberapa daerah
(iii) beberapa siswa yang memiliki prestasi belajar matematika di masing-masing daerah
(iv) beberapa siswa yang memiliki prestasi belajar matematika di beberapa daerah
Dari pernyataan di atas, yang akan menjadi sampel yang baik untuk masalah hubungan prestasi belajar matematika siswa dengan kreativitasnya adalah ....
A. (i)
B. (ii)
C. (iii)
D. (iv)
Pembahasan: C
Sampel yang baik untuk masalah hubungan prestasi belajar matematika siswa dengan kreativitasnya adalah pernyataan (iii) beberapa siswa yang memiliki prestasi belajar matematika di masing-masing daerah.

Soal 11
Data berikut adalah nilai ulangan harian matematika seorang siswa:
8, 7, 7, 6, 6, 6, 7, 6, 6, 7, 8, 8, 7, 8, 7.
Banyak ulangan harian yang bernilai 6 adalah ....
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
Pembahasan: B
Terdapat 5 ulangan harian yang bernilai 6

Soal 12
Daftar berikut menunjukkan nilai ulangan harian IPA di kelas VIIIA sebuah SMP. Banyak siswa yang nilainya lebih dari 6 adalah ....

A. 25 orang
B. 18 orang
C. 13 orang
D. 7 orang
Pembahasan: A
Pada tabel tersebut dapat diperoleh bahwa terdapat 18 siswa yang memperoleh nilai 7, 5 siswa yang memperoleh nilai 8, dan 2 siswa yang memperoleh nilai 9. Jadi, total 18+5+2=25 siswa yang mendapat nilai lebih dari 6.

Soal 13

Daftar berikut menunjukkan banyak peserta ekstrakurikuler olahraga di sebuah SMP. Persentase siswa yang mengikuti basket adalah ....

A. 15%
B. 20%
C. 25%
D. 30%
Pembahasan: C
Banyak peserta ekstrakurikuler basket yaitu 15 siswa dan total siswa yang mengikuti ekstrakurikuler olahraga sebanyak 15+17+24+4=60 siswa.
$Persentase\ siswa\ yang\ mengikuti\ ekstrakurikuler\ basket = \frac{15}{60}\times 100\%=\frac{1}{4}\times 100\%=25\%$

(Catatan: Untuk soal-soal lainnya silakan dilihat di buku Mandiri dari penerbit Erlangga tulisan Kurniawan ya. Bukunya sangat direkomendasikan untuk latihan soal. Bukan sponsor loh ya :D)

Buku Siswa SMP Kelas VIII
Soal 14
Tentukan rata-rata dari data yang diberikan berikut.
a.   11, 12, 12, 12, 12, 13, 14
b.   108, 103, 98, 105, 85, 112, 119, 82, 94, 115, 126
c.   40, 50, 55, 60, 8, 37, 50
d.   Pengunjung di klinik kesehatan gigi

Pembahasan:
a.   $\overline{X}=\frac{jumlah\ data}{banyak\ data}=\frac{11+12+12+12+12+13+14}{7}=\frac{86}{7}=12,29$
b.   $\overline{X}=\frac{jumlah\ data}{banyak\ data}=\frac{108+103+98+105+85+112+119+82+94+115+126}{11}=\frac{1147}{11}=104,27$
c.   $\overline{X}=\frac{jumlah\ data}{banyak\ data}=\frac{40+50+55+60+8+37+50}{7}=\frac{300}{7}=42,86$
d.   $\overline{X}=\frac{jumlah\ data}{banyak\ data}=\frac{12+16+0+8+31+28+17}{7}=\frac{112}{7}=6$

Soal 15
Berdasarkan hasil survei oleh penjaga stan celana di suatu mall selama satu bulan, diperoleh nomor celana yang terjual selama satu bulan.
27,  35,  32,  30,  30,  32,  28,  32,  30,  32,  30,  29,  29,  28,  27,  27,  27,  28,  28,  29,  29,  27,  30,  32
Pembahasan:
Pada soal ini, data yang diberikan cukup banyak sehingga kita lihat data yang berulang agar perhitungan menjadi lebih mudah. Perhatikan bahwa data nomor 27 ada 5, nomor 28 ada 4, nomor 29 ada 4, nomor 30 ada 5, data 32 ada 5, dan nomor 35 ada 1 data, sehingga diperoleh:

$\overline{X}=\frac{jumlah\ data}{banyak\ data}=\frac{5\times 27 + 4 \times 28 + 4 \times 29 + 5 \times 30 + 5 \times 32 + 35}{24}=\frac{300}{7}=42,86$

Soal 16 (Simulasi ujian nasional SMP TP 2017/2018 Kota Palembang)
Data nilai beberapa siswa sebagai berikut.
64, 63, 70, 75, 85, 90, 70, 78, 60, 87, 70, 65
Modus dari data di atas adalah ....
A. 90
B. 87
C. 85
D. 70
Pembahasan: D
Modus atau nilai yang paling sering muncul yaitu 70 yang muncul sebanyak 3 kali.

Soal 17 (Simulasi ujian nasional SMP TP 2017/2018 Kota Palembang)

Data nilai ujian siswa kelas IX disajikan pada tabel berikut

Banyak siswa yang memiliki nilai di atas rata-rata adalah ....
A. 6 anak
B. 9 anak
C. 10 anak
D. 18 anak
Pembahasan: D
$\overline{X}=\frac{5\times 3+6 \times 9 + 7 \times 8 + 8 \times 6 + 9 \times 3 + 10 \times 1}{3+9+8+6+3+1}=\frac{210}{30}=7$
Nilai rata-rata kelas adalah 7. Dari tabel tersebut terdapat 6 siswa mendapat nilai 8, 3 siswa mendapat nilai 9, dan 1 siswa mendapat nilai 10. Jadi, banyak siswa yang memiliki nilai di atas rata-rata adalah $6+3+1=10$ anak.

Soal 18 (Simulasi ujian nasional SMP TP 2017/2018 Kota Palembang)
Nilai rata-rata 18 orang siswa adalah 72. Apabila nilai 6 orang siswa digabung dengan siswa tersebut, nilai rata-rata gabungannya menjadi 73. Nilai rata-rata dari 6 orang siswa tersebut adalah ....
A. 75
B. 76
C. 77
D. 78
Pembahasan: 76
$\overline{X}=\frac{\overline{X_1}\cdot n_1 + \overline{X_2} \cdot n_2}{n_1 + n_2}$
$73= \frac{72\cdot 18 + \overline{X_2}\cdot 6}{18+6}$
$73=\frac{1296+6\overline{X_2}}{24}$
$73\cdot 24  = 1296+6\overline{X_2}$
$1752 = 1296+6\overline{X_2}$
$1752 - 1296 = 6\overline{X_2}$
$6\overline{X_2}=456$
$\overline{X_2}=76$

Soal 19 (USBN SMP Kota Palembang TP 2017/2018)
Perhatikan tabel berikut.

Median dari data tersebut adalah ....
A. 156,0
B. 156,5
C. 157,0
D. 157,5
Pembahasan: D
Banyak data $=3+5+2+3+4+3=20$ (genap)
$\frac{20+1}{2}=10,5$
$Me=X_{}=\frac{X_{10} + X{11}}{2}=\frac{157+158}{2}=\frac{315}{2}=157,5$

Soal 20 (USBN SMP Kota Palembang TP 2017/2018)
Berat badan rata-rata 15 siswa pria 52 kg, sedangkan berat badan rata-rata 25 siswa wanita adalah 48kg. Berapakah berat badan rata-rata seluruh siswa tersebut?
Pembahasan:
$\overline{X}=\frac{\overline{X_1}\cdot n_1 + \overline{X_2} \cdot n_2}{n_1 + n_2}$
$\overline{X}=\frac{52 \cdot 15 + 48 \cdot 25}{15 + 25}$

$\overline{X}=\frac{780 + 1200}{40}$

$\overline{X}=\frac{1980}{40}$

$\overline{X}=49,5 kg$

Jadi, berat badan rata-rata seluruh rata-rata seluruh siswa tersebut adalah 49,5 kg.

Soal dan Pembahasan Lingkaran

Berikut ini beberapa latihan soal dan pembahasan materi lingkaran kelas VIII SMP.

Soal 1.
Perhatikan gambar di bawah ini.

Tentukan unsur-unsur yang dapat kita temukan pada gambar tersebut.
Pembahasan:
a. Titik pusat: Titik $A$.
b. Jari-jari lingkaran: $OA$ dan $OB$.
c. Tali busur: $AB$.
d. Apotema: $OC$.
e. Busur: $\overparen{AB}$.
f. Juring:daerah yang dibatasi garis $OA$, $\overparen {AB}$, dan $OB$.
g. Tembereng: daerah yang dibatasi oleh $AB$ dan $\overparen {AB}$.

Soal 2.
Hitunglah keliling dari lingkaran dengan jari-jari berikut.
a. 35 cm
b. 20 cm
Pembahasan:
a. diketahui : $r=35\ cm$
    ditanya: keliling = ....
    jawab :
           Keliling $=2\pi r= 2 \times \frac{22}{7} \times 35 = 2 \times 22 \times 5 =220 cm$
b. diketahui : $r=20\ cm$
    ditanya: keliling = ....
    jawab :
           Keliling $=2\pi r= 2 \times 3,14 \times 20= 6,28 \times 20 =125,6 cm$

Soal 3.
Lingkaran A memiliki keliling 4 cm lebihnya dari lingkaran B. Tentukan selisih jari-jari antara lingkaran A dan lingkaran B.
Pembahasan:
Diketahui: keliling A = 4 + keliling B
Ditanya: $r_A - r_B= ....$
Pembahasan:
       Keliling A = 4 + keliling B
       $2 \pi r_A = 4 + 2\pi r_B$
       $2 \pi r_A - 2\pi r_B  = 4$
       $2 \pi (r_A - r_B)= 4$
       $(r_A - r_B) = \frac{4}{2\pi}$
       $(r_A - r_B) = \frac{2}{\pi}$

Soal 4.
Diameter sebuah roda yang berputar adalah 0,56 meter. Tentukan banyaknya putaran roda tersebut pada sebuah jalan dengan panjang 880 meter.
Pembahasan:
Diketahui: d = 0,56 m.
                  Panjang jalan = 880 m.
Ditanya : banyak putaran roda.
Pembahasan:
$r=\frac{d}{2}=\frac{0,56}{2}=0,28 m =\frac{28}{100}$.
Keliling roda=$2\pi r =2 \times \frac{22}{7} \times \frac{28}{100}=2 \times 22 \times \frac{4}{100}=1,76\ m$.
Banyak putaran roda = $\frac{panjang\ jalan}{keliling\ roda}=\frac{880}{1,76}=500$ putaran.

Soal 5.
Hitunglah luas dari lingkaran dengan jari-jari berikut.
a. 14 cm
b. 10 cm
Pembahasan:
a. diketahui : $r=14\ cm$
    ditanya: luas = ....
    jawab :
           Luas $=\pi r^2= \frac{22}{7} \times 14 \times 14 = 22 \times 2 \times 14= 676\ cm$
b. diketahui : $r=10\ cm$
    ditanya: luas = ....
    jawab :
           Luas $=\pi r^2=3,14 \times 10 \times 10= 3,14\times 100=314\ cm$

Soal 6.
Pada lingkaran di bawah ini, jarak titik A ke B dan titik B ke C adalah 7 cm. Tentukan luas area yang diarsir.

Pembahasan:
Perhatikan bahwa area yang diarsir adalah area lingkaran besar tanpa area lingkaran kecil.
Diketahu: $r_kecil = 7\ cm$
                 $r_besar = 14\ cm$
Ditanya : luas daerah yang diarsir = ....
Luas lingkaran kecil = $\pi r^2= \frac{22}{7} \times 7 \times 7 = 22 \times 7 =154\ cm^2$
Luas lingkaran besar = $\pi r^2= \frac{22}{7} \times 14 \times 14 = 22 \times 2 \times 14 =616\ cm^2$

Soal 7.
Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar berikut ini jika diketahui panjang persegi tersebut adalah 20 cm.

Pembahasan:
Perhatikan bahwa area yang diarsir ungu adalah area persegi tanpa area lingkaran.
Diketahu: $s = 20\ cm$
                 $r = 10\ cm$
Ditanya : luas daerah yang diarsir = ....
Luas persegi= $s^2=20^2 = 400\ cm^2$
Luas lingkaran = $\pi r^2= 3,14 \times 10 \times 10 = 314\ cm^2$
Luas daerah yang diarsir ungu = luas persegi - luas lingkaran $= 400 - 314 = 86\ cm^2$

Soal 8.
Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar berikut ini.

Pembahasan:
Perhatikan bahwa gambar tersebut terdiri dari 3 buah lingkaran yaitu lingkaran besar yang berjari-jari 14 cm, lingkaran sedang yang berjari-jari 7 cm, dan lingkaran kecil yang berjari-jari 3,5 cm.
Daerah yang diarsir sendiri adalah gambar lingkaran besar dengan lingkaran kecil, tanpa lingkaran sedang.
$L_{Lingkaran\ besar}=\pi r^2= \frac{22}{7}\times 14 \times 14= 616 cm^2$
$L_{Lingkaran\ sedang}=\pi r^2= \frac{22}{7}\times 7 \times 7=  154 cm^2$

$L_{Lingkaran\ kecil}=\pi r^2= \frac{22}{7}\times 3,5 \times 3,5= 38.5 cm^2$
Jadi,
$L_{daerah\ yang\ diarsir}=616+38.5-154=500.5$

Soal 9.
Pak Adi membuat taman berbentuk lingkaran yang jari-jari 21 m. Keliling taman akan ditanami pohon dengan jarak masing-masing pohon 3 m maka banyak pohon yang dibutuhkan ....
Pembahasan:
Keliling = $2\pi r = 2\cdot \frac{22}{7} \cdot 21 = 2 \cdot 22 \cdot 3 = 132 m$
Banyak pohon= $132 m : 3= 44 pohon $

Teorema Menelaus

Pada $\triangle ABC$,  titik D, E, dan F berada pada masing-masing sisi segitiga tersebut (perpanjang jika perlu) seperti pada gambar berikut.

Seorang matematikawan yang berasal dari Alexandria, yaitu Menelaus menyatakan hubungan antara garis-garis pada segitiga tersebut yaitu titik $D$, $E$, dan $F$ segaris jika dan hanya jika

$\frac{AF}{BF}\times \frac{BE}{CE}\times \frac{CD}{AD}=1$

Bukti:
Dalam pembuktian ini, akan kita buktikan bahwa jika titik $D$, $E$, dan $F$ segaris maka
$\frac{AF}{BF}\times \frac{BE}{CE}\times \frac{CD}{AD}=1$
Perpanjang garis FD, dan gambarkan titik A', B', dan C' pada FD sedemikian hingga AA', BB', dan CC' tegak lurus garis FD seperti pada gambar berikut.

Berdasarkan gambar tersebut, diperoleh bahwa $\triangle AFA'$ sebangun dengan $\triangle BFB'$, $\triangle BEB'$ sebangun dengan $\triangle CEC'$, dan $\triangle CDC'$ sebangun dengan $\triangle ADA''$. Dengan demikian, dapat diperoleh bahwa

$\frac{AF}{BF}=\frac{AA'}{BB'}$, $\frac{BE}{CE}=\frac{BB'}{CC'}$, dan $\frac{CD}{AD}=\frac{CC'}{AA'}$

sehingga,

$\frac{AF}{BF}\times \frac{BE}{CE} \times\frac{CD}{AD}=\frac{AA'}{BB'}\times \frac{CC'}{AA'}=1$.

Soal.
Pada segitiga PQR di atas, $QM:MR=3:5$, dan $RN:NP=4:3$. Jika QLN dan PLM merupakan suatu garis lurus, maka perbandingan antara panjang ruas garis LN dengan ruas garis QL.

Pembahasan:
Dengan menggunakan Teorema Menelaus, maka diperoleh bahwa

$\frac{RP}{NP}\times \frac{NL}{QL}\times \frac{QM}{RM}=1$

Kita tahu bahwa $RN:NP=4:3$, maka $RP:NP=(4+3):3=7:3$. Dengan demikian,

$\frac{RP}{NP}\times \frac{NL}{QL}\times \frac{QM}{RM}=1$

$\frac{7}{3}\times \frac{NL}{QL}\times \frac{3}{5}=1$

$\frac{NL}{QL}\times \frac{7}{5}=1$

$\frac{NL}{QL}=\frac{5}{7}$.

Jadi, $LN:QL=5:7$ .

Soal dan Pembahasan Faktorisasi Bentuk Aljabar

Soal 1.
Tentukan banyak suku dan suku-suku sejenis pada bentuk aljabar berikut ini.
a. $5a+7a-3a$
b. $4x+10y-9x+12xy$
c. $12a^2-8b+16a^2$
d. $6x^3+2y^2+y^2-5x^3$

Penyelesaian:
a. banyak suku = 3, suku-suku sejenis: $5a$, $7a$, dan $3a$.
b. banyak suku = 4, suku-suku sejenis yaitu $4x$ dan $-9x$.
c. banyak suku = 3, suku-suku sejenis yaitu $12a^2$ dan $16a^2$.
d. banyak suku = 4, suku-suku sejenis yaitu $6x^3$ dan $-5x^3$, $2y^2$ dan $y^2$.

Soal 2.
Koefisien untuk variabel $a^2$ dan $ab^2$ dari bentuk aljabar $2a^2-4a+4ab^2-3b^2$ berturut-turut adalah ....
Pembahasan:
Pada bentuk aljabar tersebut bilangan yang ada di depan $a^2$ adalah 2 sehingga koefisien $a^2$ adalah 2, sedangkan bilangan yang ada di depan $ab^2$ adalah 4 sehingga koefisien $ab^2$ adalah 4. Jadi, Koefisien untuk variabel $a^2$ dan $ab^2$ dari bentuk aljabar $2a^2-4a+4ab^2-3b^2$ berturut-turut adalah 2 dan 4.

Soal 3. 
Bentuk paling sederhana dari $7x-4y+6-4x+y-6$ adalah ....
Pembahasan:
$7x-4y+6-4x+y-6=7x-4x-4y+y+6-6=3x-3y$.

Soal 4.
Bentuk paling sederhana dari $9-4(2x+5)$ adalah ....
Pembahasan:
$9-4(2x+5)=9-8x-20=-8x+9-20=-8x-11$.

Soal 5.
Jumlah dari $5ab+2bc-d$ dan $3ab-2bc+6d$ adalah ....
Pembahasan:
$(5ab+2bc-d)+(3ab-2bc+6d)=5ab+3ab+2bc-2bc-d+6d=8ab+5d$.

Soal 6.
Hasil pengurangan $-2(3p+2)$ dari $2p+6$ adalah ....
Pembahasan:
$(2p+6)-(-2(3p+2))=(2p+6)+2(3p+2)=2p+6+6p+4=2p+6p+6+4=8p+10$.

Soal 7.
Tentukan hasil perkalian dari bentuk aljabar berikut.
a. $2(x+4)$
b. $-3(a-2b)$
c. $5(2x+3y)$
d. $-2a(a+4b)$
e. $4a^2(-a+2b)$
f. $2xy(x-4)$
g. $-p^2(p^2-3p)$
h. $\frac{1}{2}(4x-6y)$
Pembahasan:
Dalam mengerjakan soal ini, gunakan sifat distributif bentuk aljabar.
a. $2(x+4)= 2x+8$
b. $-3(a-2b)=-3a+6b$
c. $5(2x+3y)=10x+15y$
d. $-2a(a+4b)=-2a^2-8ab$
e. $4a^2(-a+2b)=-4a^3+8a^2b$
f. $2xy(x-4)=2x^2y-8xy$
g. $-p^2(p^2-3p)=-p^4+3p^3$
h. $\frac{1}{2}(4x-6y)=2x-3y$


Soal 8.
Hasil dari $(x+y)(x-y)$ adalah ....
Pembahasan:
$(x+y)(x-y)=x^2-xy+xy-y^2=x^2-y^2$.

Soal 9.
Hasil dari $(x+y)^2$ adalah ....
Pembahasan:
$(x+y)^2=(x+y)(x+y)=x^2+xy+xy+y^2=x^2+2xy+y^2$.

Soal 10.
Hasil dari $(x-y)^2$ adalah ....
Pembahasan:
$(x-y)^2=(x-y)(x-y)=2=x^2-xy-xy+y^2=x^2-2xy+y^2$.


Soal 11.
Hasil dari $(2x+3y)(x-4y)$ adalah ....
Pembahasan:
$(2x+3y)(x-4y)=2x^2-8xy+3xy-12y^2=2x^2-5xy-12y^2$.

Soal 12.
Hasil dari $(3x^2-2y^2)(4x^2-5y^2)$ adalah ....
Pembahasan:
$(3x^2-2y^2)(4x^2-5y^2)=12x^4-15x^2y^2-8x^2y^2+10y^4=12x^4-23x^2y^2+10y^4$.

Soal 13.
Tentukan hasil pembagian bentuk aljabar berikut ini.
a. $10ab \div 2a $
b. $15a^3b \div 5a^2$
c. $24a^3b \div (-8ab)$
d. $-12a^4b^6 \div 3a^2b^2c$
e. $-p^4q^3 \div (-pq^2r)$
Pembahasan:
a. $10ab \div 2a= 5 b$
b. $15a^3b \div 5a^2=3ab$
c. $24a^3b \div (-8ab)=-3a^2$
d. $-12a^4b^6 \div 3a^2b^2c=\frac{4a^2b^4}{c}$
e. $-p^4q^3 \div (-pq^2r)=\frac{p^3q}{r}$

SMP Kelas 2

Berikut ini beberapa materi yang dipelajari di kelas VIII SMP dengan kurikulum KTSP
1. Memfaktorkan Bentuk Aljabar
    Soal dan Pembahasan Faktorisasi Bentuk Aljabar
2. Fungsi
3. Persamaan Garis
4. Sistem Persamaan Linier Dua Variabel
5. Teorema Pythagoras
6. Lingkaran
7. Bangun Datar
8. Statistika
    Soal dan Pembahasan Statitika
9. Peluang

Tak Terdefinisi atau Tak Tentu

A. Bentuk Tak Terdefinisi
Tak Terdefinisi merupakan bentuk pembagian dari suatu bilangan tak nol dengan bilangan nol. Atau dapat dituliskan sebagai berikut.

$\frac{a}{0}, a \neq 0$

Mengapa dikatakan tak terdefinisi? Nah, misalkan saja bentuk ini mempunyai hasil yaitu suatu bilangan $k$ atau

$\frac{a}{0}=k$

maka

$a=0\times k =0$

Padahal sebelumnya kita sudah mengatakan bahwa a adalah bilangan tak nol. Artinya tidak ada nilai k yang memenuhi. Oleh karena itu, pembagian dari suatu bilangan tak nol dengan nol merupakan bentuk tak terdefinisi.

B. Bentuk Tak Tentu

Bentuk Tak tentu merupakan bentuk perhitungan yang mempunyai banyak hasil, sehingga tidak jelas mana yang merupakan hasil sebenarnya. Contoh yang merupakan bentuk tak tentu yaitu $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, dan $0^0$. Agar lebih jelas, mari kita bahas mengapa $\frac{0}{0}$ merupakan bentuk tak tentu.
Misalkan $a \in \mathbb{R}$ (a adalah suatu bilangan real), sedemikan hingga

$a=\frac{0}{0}$

  

Akibatnya,

$a\times 0 = 0$.

Pertanyaannya, berapakah nilai $a$ yang mungkin? tentunya sangat banyak bukan? Jadi, Kita tidak dapat menentukan dengan pasti berapakah nilai si $a$ yang sebenarnya. Oleh karena itu $a$ merupakan bentuk tak tentu.

Bagaimana dengan bentuk $0^0$, mengapa merupakan bentuk tak tentu? Untuk menentukan nilai dari $0^0$ kita mempunyai dua sudut pandang. Pertama, coba kamu pandang suatu bilangan yang dipangkatkan 0. Tentu hasilnya adalah 1. Apakah hasil dari $0^0$ juga 1? Lalu, coba pandang hasil dari 0 yang dipangkatkan suatu bilangan. Hasilnya adalah 0. Jadi, berapa hasil $0^0$ sebenarnya? Apakah 0 atau 1? Nah, karena ada dua hasil dari $0^0$ jelas bahwa $0^0$ merupakan bentuk tak tentu.

SMP Kelas 1

Notasi Sigma

Perhatikan penjumlahan berikut ini.

$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+...+98^2+99^2+100^2$                      ...... Persamaan (1)

Penjumlahan tersebut merupakan jumlah kuadrat 100 bilangan asli pertama. Untuk mempermudah penulisan dari penjumlahan tersebut, para matematikawan membuat suatu cara penulisan dari penjumlahan yang demikian. Cara tersebut dikenal dengan "Notasi Sigma".

Sigma ($\Sigma$) dalam matematika melambangkan penjumlahan dari suatu deretan bilangan. Notasi sigma tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut.
$\sum_{i=1}^{n}{a_i}=a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + .... + a_{n-1} + a_n$
dibaca: sigma (atau jumlah) $a_k$ dengan $i$ mulai dari 1 sampai dengan n.

Penjumlahan pada persamaan (1) dapat dituliskan dengan:

$\sum_{i=1}^{100}{i^2}$

Perlu diperhatikan bahwa untuk menggunakan notasi sigma, kita perlu terlebih dahulu menentukan bentuk umum dari penjumlahan yang dimaksud serta menentukan saat mulai dan berakhirnya nilai $i$.

Perhatikan contoh-contoh berikut.
1. $\sum_{i=1}^{5}{i}=1 + 2 + 3 + 4 +5$
2. $\sum_{i=1}^{6}{2i-1}=(2(1)-1) +(2(2)-1)+(2(3)-1)+(2(4)-1)+(2(5)-1)+(2(6)-1)$
3. $\sum_{i=1}^{4}{2^i}=2^1+2^2+2^3+2^4$
4. $\sum_{i=1}^{5}{\frac{1}{i}}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$

Sifat-Sifat Notasi Sigma
Sifat 1.
$\sum_{i=1}^{n}{c}=n \cdot c$, dengan c adalah konstan.

Sifat 2.
$\sum_{i=1}^{n}{xa_i}=x\cdot \sum_{i=1}^{n}{a_i}$, dengan x adalah bilangan riil tak nol.

Sifat 3.
$\sum_{i=1}^{n}{(a_i+b_i)}= \sum_{i=1}^{n}{a_i} + \sum_{i=1}^{n}{a_i}$

Beberapa deret bilangan dapat dihitung dengan menggunakan rumus tertentu yang dapat dibuktikan. Rumus-rumus deret bilangan itu sebagai berikut.

1. $\sum_{i=1}^{n}{i}=\frac{n(n+1)}{2}$

2. $\sum_{i=1}^{n}{i^2}=\frac{n(2n+1)(n+1)}{6}$

3. $\sum_{i=1}^{n}{(2i-1)^2}=n^2$

4. $\sum_{i=1}^{n}{i\cdot (i+1)}=\frac{n(n+1)(n+2}{3}$

Contoh 1:
$\sum_{i=1}^{5}{3}=5 \cdot 3$

Contoh 2.
$\sum_{i=1}^{2017}{i}=1 + 2 + 3 + 4 + ... + 2016 + 2017$
$\sum_{i=1}^{2017}{i}=\frac{2017(1+2017)}{2}=\frac{2017(2018)}{2}=2017\times 509=1.026.653$

Contoh 3.
$\sum_{i=1}^{5}{3i}=3 \cdot \sum_{i=1}^{5}{k}$
$\sum_{i=1}^{5}{3i}=3 \cdot (1+2+3+4+5)$
$\sum_{i=1}^{5}{3i}=3 \cdot \frac{5(1+5)}{2}$
$\sum_{i=1}^{5}{3i}=3 \cdot 15$
$\sum_{i=1}^{5}{3i}= 45$

Contoh 4.
$\sum_{i=1}^{5}{i^2}=\frac{5(2(5)+1)((5)+1)}{6}$
$\sum_{i=1}^{5}{i^2}=\frac{5\times 11 \times 6}{6}$
$\sum_{i=1}^{5}{i^2}=55$

Contoh 5.

$\sum_{i=1}^{5}{3i+2}=\sum_{i=1}^{5} 3i + \sum_{i=1}^{5} 2$
$\sum_{i=1}^{5}{3i+2}=3\times \frac{5\times 6}{2} + 5\times 2$
$\sum_{i=1}^{5}{3i+2}=45 + 10$
$\sum_{i=1}^{5}{3i+2}=65$

Memfaktorkan dan Menguraikan

Salah satu strategi penyelesaian masalah yang sering digunakan pada materi aljabar yaitu dengan memfaktorkan atau menguraikan permasalahan itu sehingga dapat menjadi lebih sederhana. Beberapa bentuk pemfaktoran dan penguraian yang seringkali digunakan yaitu
1.  $(x+y)^{2}=x^2+2xy+y^2$
2.  $(x-y)^{2}=x^2-2xy+y^2$
3.  $(x^2-y^{2})=(x-y)(x+y)$
4.  $(x+y+z)^{2}=x^2+y^2+z^2 +2(xy+xz+yz)$
5.  $x^3+y^3 = (x+1)(x^2 -xy +y^2)$
6.  Merasionalkan bentuk akar
     a) $\frac{a}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}=\frac{a}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}\cdot \frac{\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}.$
     b) $\frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\cdot \frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}.$
     c) $\frac{a}{b\sqrt{c}}=\frac{a}{b\sqrt{c}}\cdot \frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c}}=\frac{a\sqrt{c}}{c}.$


Tentu saja bentuk-bentuk tersebut hanya beberapa saja dan masih ada bentuk lainnya dan digunakan tergantung dengan permasalahannya.

Contoh 1. (OSK 2004 SMP/MTS)
Nilai dari $\sqrt{5050^2-4950^2}=....$
Penyelesaian:
$\sqrt{5050^2-4950^2}=\sqrt{(5050-4950)(5050+4950)}$
$\sqrt{5050^2-4950^2}=\sqrt{(100)(10000)}$
$\sqrt{5050^2-4950^2}=\sqrt{(1000000)}$
$\sqrt{5050^2-4950^2}=1000$

Contoh 2. (OSK 2015 SMP/MTS)
Nilai dari $\frac{\sqrt{3^{2015}}}{\sqrt{3^{2015}} - \sqrt{3^{2013}}}= ...$
Penyelesaian:
$\frac{\sqrt{3^{2015}}}{\sqrt{3^{2015}} - \sqrt{3^{2013}}}=\frac{\sqrt{3^{2015}}}{\sqrt{3^{2015}} - \sqrt{3^{2013}}}\cdot \frac{\sqrt{3^{2015}} + \sqrt{3^{2013}}}{\sqrt{3^{2015}} + \sqrt{3^{2013}}}$

$\frac{\sqrt{3^{2015}}}{\sqrt{3^{2015}} - \sqrt{3^{2013}}}=\frac{3^{2015}+3^{2014}}{3^{2015} - 3^{2013}}$
$\frac{\sqrt{3^{2015}}}{\sqrt{3^{2015}} - \sqrt{3^{2013}}}=\frac{3^{2013}(9+3)}{3^{2013}(9-1)}$
$\frac{\sqrt{3^{2015}}}{\sqrt{3^{2015}} - \sqrt{3^{2013}}}=\frac{12}{8}$
$\frac{\sqrt{3^{2015}}}{\sqrt{3^{2015}} - \sqrt{3^{2013}}}=\frac{3}{2}$

Contoh 3. (OSK 2016 SMP/MTS)
Nilai dari $\frac{2017\times (2016^2 -16)\times 2015}{2020 \times (2016^2 -1)}= ...$
Penyelesaian:
$\frac{2017\times (2016^2 -16)\times 2015}{2020 \times (2016^2 -1)}=\frac{2017\times (2016-4)(2016+4)\times 2015}{2020 \times (2016-1)(2016+1}$
$\frac{2017\times (2016^2 -16)\times 2015}{2020 \times (2016^2 -1)}=\frac{2017\times 2012 \times 2020 \times 2015}{2020 \times 2015 \times 2017}$
$\frac{2017\times (2016^2 -16)\times 2015}{2020 \times (2016^2 -1)}=2012$

Contoh 4. (OSK SMA 2013)
Misalkan $a$ dan $b$ adalah bilangan asli dengan $a>b$. Jika $\sqrt{94+2\sqrt{2013}}=\sqrt{a}+ \sqrt{b}$ maka nilai $a-b$ adalah ....
Penyelesaian:
$\sqrt{94+2\sqrt{2013}}=\sqrt{61 + 33 + 2\sqrt{61\times 33}}$
$\sqrt{94+2\sqrt{2013}}=\sqrt{(\sqrt{61})^2+ 2\sqrt{61\times 33} + (\sqrt{33})^2}$
$\sqrt{94+2\sqrt{2013}}=\sqrt{(\sqrt{61}+\sqrt{33})^2}$
$\sqrt{94+2\sqrt{2013}}=\sqrt{61}+\sqrt{33}$
Jadi, $a=61$ dan $b=33$ sehingga diperoleh $a-b=61-33=28$

Latihan Soal dan Pembahasan Logaritma

Soal 1.
Diketahui ${^3 \log {x}}=4$, maka nilai dari $x=....$
Jawab:
${^2 \log {x}}=-3 \leftrightarrow x=2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$

Soal 2.
Diketahui ${^3 \log {x}}=4$, maka nilai dari $x=....$
Jawab:
${^3 \log {x}}=4 \leftrightarrow x=3^4$

Soal 3.
Nilai dari ${^2 \log 8 }= ....$
Jawab:
 ${^2 \log 8} = {^2 \log {2^3}}=3 \cdot ^2 \log {2}$

Soal 4.
Hasil dari ${^3 \log {63}}- {^3 \log {7}} + {^6 log {36}}= ....$
Jawab:
${^3 \log {63}}- {^3 \log {7}} + {^6 log {36}} ={^3 \log {\frac{ 63}{7}}} + {^6 log {6^2}}$
${^3 \log {63}}- {^3 \log {7}} + {^6 log {36}} ={^3 \log {9}} + {^6 log {6^2}}$
${^3 \log {63}}- {^3 \log {7}} + {^6 log {36}} ={^3 \log {3^2}} + {^6 log {6^2}}$
${^3 \log {63}}- {^3 \log {7}} + {^6 log {36}} ={2\cdot ^3 \log {3^2}} + {2\cdot ^6 log {6^2}}$
${^3 \log {63}}- {^3 \log {7}} + {^6 log {36}} =2+ 2=4$

Soal 5.
Jika nilai dari $^2 \log {3}=a$ maka nilai dari $^3 log {2}= ....$
Jawab:
$^3 log {2}= \frac {1}{^2\log{3}}=\frac {1}{a}$

Soal 6.
Jika nilai dari $^4 \log {3}=a$ maka nilai dari $^2 log {3}= ....$
Jawab:
$^4 \log {3}=a$
$^{2^2} \log {3}=a$
$\frac{1}{2}{^{2} \log {3}}=a$

Soal 7.
Jika nilai dari $^25 \log {3}=m$ maka nilai dari $^27 log {5}= ....$
Jawab:
$^25 \log {3}=m$
$^{5^2} \log {3}=m$
$\frac{1}{2}{^{5} \log {3}}=m$ $^5 \log {3}=2m$
$^27 log {5}= ^{3^3}\log {5}=\frac{1}{3} \cdot {^3 \log {5}}=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{^5 \log {3}}=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2m}=\frac{1}{6m}$

Soal 8.
Diketahui $^5 \log 3 = a$ dan $^3 \log 4 = b$, maka nilai $^4 \log {15} = ....$
a.  $\frac{1+a}{ab}$
b.  $\frac{1+a}{1+b}$
c.  $\frac{1+b}{1-a}$
d.  $\frac{ab}{1-a}$
e.  $\frac{ab}{1-b}$
Jawab: A.
$^4 \log {15} =\frac{^3 log {15}}{^3 \log {4}}$
$^4 \log {15} =\frac{^3 log {5\times 3}}{^3 \log {4}}$
$^4 \log {15} =\frac{^3 \log {5} +^3 log {3}}{^3 \log {4}}$
$^4 \log {15} =\frac{\frac{1}{a} +1}{b}$
$^4 \log {15} =\frac{\frac{1}{a} +1}{b}\times \frac{a}{a}$
$^4 \log {15} =\frac{1+a}{ab}$.

Soal 9.
Diketahui $^2 \log 3 = x$ dan $^2 \log 10 = y$, maka nilai $^6 \log {120} = ....$
a.  $\frac{x}{xy+2}$
b.  $\frac{xy+2}{x}$
c.  $\frac{2xy}{x+1}$
d.  $\frac{x+y+2}{x+1}$
e.  $\frac{x+1}{x+y+2}$
Jawab: D.
$^6 \log {120} =\frac{^2 log {120}}{^2 \log {6}}$
$^6 \log {120} =\frac{^2 log {12\times 10}}{^2 \log {3\times 2}}$
$^6 \log {120} =\frac{^2 \log {12} +^2 log {10}}{^2 \log {3}+{^2 \log {2}}}$
$^6 \log {120} =\frac{^2 \log {3 \times 4} +^2 log {10}}{^2 \log {3}+{^2 \log {2}}}$
$^6 \log {120} =\frac{^2 \log {3}+ ^2 \log {4}+^2 log {10}}{^2 \log {3}+{^2 \log {2}}}$
$^6 \log {120} =\frac{^2 \log {3}+ ^2 \log {2^2}+^2 log {10}}{^2 \log {3}+{^2 \log {2}}}$
$^6 \log {120} =\frac{^2 \log {3}+2\cdot ^2 \log {2}+^2 log {10}}{^2 \log {3}+{^2 \log {2}}}$
$^6 \log {120} =\frac{x+2+y}{x+1}=\frac{x+y+2}{x+1}$

Soal 10.
Diketahui $^3 \log 6 = p$ dan $^3 \log 2 = q$, maka nilai $^{24} \log 288 = ....$
a.  $\frac{2p+3q}{p+2q}$
b.  $\frac{3p+2q}{p+2q}$
c.  $\frac{p+2q}{2p+3q}$
d.  $\frac{p+2q}{3p+2q}$
e.  $\frac{2p+q}{2p+3q}$
Jawab: A.
$^24 \log {288} =\frac{^3 log {288}}{^3 \log {24}}$
$^24 \log {288} =\frac{^3 log {36\times 8}}{^3 \log {6 \times 4}}$
$^24 \log {288} =\frac{^3 log {36} +^3 log {8}}{^3 \log {6}+^3 log {4}}$
$^24 \log {288} =\frac{^3 log {6^2} +^3 log {2^3}}{^3 \log {6}+^3 log {2^2}}$
$^24 \log {288} =\frac{2\cdot ^3 log {6} +3\cdot ^3 log {2}}{^3 \log {6}+2\cdot ^3 log {2}}$
$^24 \log {288} =\frac{2p +3q}{p+2q}$

Soal 11.
Diketahui $^7 \log 2 = a$ dan $^2 \log 3 = b$, maka nilai $^{6} \log 14= ....$
a.  $\frac{a}{a+b}$
b.  $\frac{a+1}{b+1}$
c.  $\frac{a+1}{a(b+1)}$
d.  $\frac{b+1}{a+1}$
e.  $\frac{b+1}{b(a+1)}$
Jawab: C.
$^6 \log {14} =\frac{^2 log {14}}{^2 \log {6}}$
$^6 \log {14} =\frac{^2 log {7\times 2}}{^2 \log {3\times 2}}$
$^6 \log {14} =\frac{^2 log {7}+^2 log {2}}{^2 \log {3}+^2 \log {2}}$
$^6 \log {14} =\frac{\frac{1}{a}+1}{b+1}$
$^6 \log {14} =\frac{\frac{1}{a}+1}{b+1}\times \frac{a}{a}$
$^6 \log {14} =\frac{1+a}{a(b+1)}$

Baca juga artikel berikut:
Sifat-Sifat Logaritma dan Pembuktiannya
Soal dan Pembahasan Logaritma: Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri