Soal 1.
$\lim_{x \to 0}{2x-1}= 2(0)-1=-1$
$\lim_{x \to 0}{2x-1}= 2(0)-1=-1$
Turunan: Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri
Soal 1. SBMPTN 2017
Misalkan $f(x)=sin{(cos^2{x})}$, maka $f'(x)=....$
A. $-2 sin{x}\cdot cos{(cos^2{x})}$
B. $-2 sin{2x}\cdot cos{(cos^2{x})}$
C. $- sin{x}\cdot cos{(cos^2{x})}$
D. $- sin{2x}\cdot cos{(cos^2{x})}$
E. $- sin^2{x}\cdot cos{(cos^2{x})}$
Pembahasan: D
$f(x)=sin{(cos^2{x})}$
$f'(x)=2cos{x}\cdot (-sin{x})\cdot cos{(cos^2{x})}$
$f'(x)=-2 sin{x}\cdot cos{x}\cdot cos{(cos^2{x})}$
$f'(x)=-sin{2x}\cdot cos{(cos^2{x})}$
Misalkan $f(x)=sin{(cos^2{x})}$, maka $f'(x)=....$
A. $-2 sin{x}\cdot cos{(cos^2{x})}$
B. $-2 sin{2x}\cdot cos{(cos^2{x})}$
C. $- sin{x}\cdot cos{(cos^2{x})}$
D. $- sin{2x}\cdot cos{(cos^2{x})}$
E. $- sin^2{x}\cdot cos{(cos^2{x})}$
Pembahasan: D
$f(x)=sin{(cos^2{x})}$
$f'(x)=2cos{x}\cdot (-sin{x})\cdot cos{(cos^2{x})}$
$f'(x)=-2 sin{x}\cdot cos{x}\cdot cos{(cos^2{x})}$
$f'(x)=-sin{2x}\cdot cos{(cos^2{x})}$
Soal 2. SBMPTN 2017
Jika garis singgung dari kurva $y=x^3+a\sqrt{x}$ di titik $(1,b)$ adalah $y=ax-c$, maka $a+b+c=....$
A. $10$
B. $11$
C. $12$
D. $13$
E. $14$
Pembahasan: C
Garis singgung kurva adalah $y=ax-c$ sehingga gradien garis singgung tersebut adalah $m=a$
Perhatikan bahwa gradien dari suatu kurva adalah turunan pertamanya, sehingga
$m=y'$
$a=3x^2+\frac{a}{2\sqrt{x}}$
Garis singgung melalui titik (1,b) sehingga persamaan tersebut menjadi
$a=3(1)^2+\frac{a}{2\sqrt{1}}$
$a=3+\frac{a}{2}$
($\times 2$)
$2a=6+a$
$a=6$
Kurva $y=x^3+a\sqrt{x}=x^3+6\sqrt{x}$ melalui titik $(1,b)$, maka
$b=1^3+6\sqrt{1}$
$b=1+6$
$b=7$
Garis singgung $y=ax-c$ melalui $(1, b)=(1,7)$, maka
$7=6-c$
$c=-1$
Jadi, nilai $a+b+c=6+7+(-1)=12$.
Jika garis singgung dari kurva $y=x^3+a\sqrt{x}$ di titik $(1,b)$ adalah $y=ax-c$, maka $a+b+c=....$
A. $10$
B. $11$
C. $12$
D. $13$
E. $14$
Pembahasan: C
Garis singgung kurva adalah $y=ax-c$ sehingga gradien garis singgung tersebut adalah $m=a$
Perhatikan bahwa gradien dari suatu kurva adalah turunan pertamanya, sehingga
$m=y'$
$a=3x^2+\frac{a}{2\sqrt{x}}$
Garis singgung melalui titik (1,b) sehingga persamaan tersebut menjadi
$a=3(1)^2+\frac{a}{2\sqrt{1}}$
$a=3+\frac{a}{2}$
($\times 2$)
$2a=6+a$
$a=6$
Kurva $y=x^3+a\sqrt{x}=x^3+6\sqrt{x}$ melalui titik $(1,b)$, maka
$b=1^3+6\sqrt{1}$
$b=1+6$
$b=7$
Garis singgung $y=ax-c$ melalui $(1, b)=(1,7)$, maka
$7=6-c$
$c=-1$
Jadi, nilai $a+b+c=6+7+(-1)=12$.
Soal 3. Sipenmaru 2017
Sebuah mobil bergerak sepanjang garis lurus. Jika jarak yang ditempuh dinyatakan dengan $s(t)=10t^3-25t^2+50t$ maka percepatan mobil pada saat $t=10$ detik adalah ....
A. $8000\ m/detik^2$
B. $2550\ m/detik^2$
C. $550\ m/detik^2$
D. $300\ m/detik^2$
E. $60\ m/detik^2$
Pembahasan: C
Perhatikan bahwa persamaan percepatan adalah $a=s''$.
$s'(t)=30t^2-50t+50$
$s''(t)=60t-50$
$a(t)=s''(t)$
$a(t)=60t-50$
$a(10)=60(10)-50$
$a(10)=600-50=550$
Sebuah mobil bergerak sepanjang garis lurus. Jika jarak yang ditempuh dinyatakan dengan $s(t)=10t^3-25t^2+50t$ maka percepatan mobil pada saat $t=10$ detik adalah ....
A. $8000\ m/detik^2$
B. $2550\ m/detik^2$
C. $550\ m/detik^2$
D. $300\ m/detik^2$
E. $60\ m/detik^2$
Pembahasan: C
Perhatikan bahwa persamaan percepatan adalah $a=s''$.
$s'(t)=30t^2-50t+50$
$s''(t)=60t-50$
$a(t)=s''(t)$
$a(t)=60t-50$
$a(10)=60(10)-50$
$a(10)=600-50=550$
Soal 4. Sipenmaru 2016
Jika suatu proyek akan diselesaikan dalam $x$ hari, maka biaya proyek perhari adalah $(x+\frac{500}{x}-40)$ juta rupiah. Biaya minimum proyek tersebut adalah ....
A. Rp150.000.000,00
B. Rp125.000.000,00
C. Rp100.000.000,00
D. Rp75.000.000,00
E. Rp50.000.000,00
Pembahasan: C
Misalkan $y$ adalah fungsi yang menyatakan biaya yang dikeluarkan untuk proyek tersebut.
$y=x(x+\frac{500}{x}-40)$ juta rupiah
$y=x^2+500-40x$ juta rupiah
$y=x^2-40x+500$ juta rupiah.
Biaya minimum dapat diperoleh saat $y'=0$
$y=x^2-40x+500$
$y'=2x-40$
$0=2x-40$
$2x=40$
$x=20$.
Jadi, biaya minimumnya adalah $y=(20)^2-40(20)+500=400-800+500=100$ juta rupiah.
Jika suatu proyek akan diselesaikan dalam $x$ hari, maka biaya proyek perhari adalah $(x+\frac{500}{x}-40)$ juta rupiah. Biaya minimum proyek tersebut adalah ....
A. Rp150.000.000,00
B. Rp125.000.000,00
C. Rp100.000.000,00
D. Rp75.000.000,00
E. Rp50.000.000,00
Pembahasan: C
Misalkan $y$ adalah fungsi yang menyatakan biaya yang dikeluarkan untuk proyek tersebut.
$y=x(x+\frac{500}{x}-40)$ juta rupiah
$y=x^2+500-40x$ juta rupiah
$y=x^2-40x+500$ juta rupiah.
Biaya minimum dapat diperoleh saat $y'=0$
$y=x^2-40x+500$
$y'=2x-40$
$0=2x-40$
$2x=40$
$x=20$.
Jadi, biaya minimumnya adalah $y=(20)^2-40(20)+500=400-800+500=100$ juta rupiah.
Kumpulan Soal Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri:
Persamaan Kuadrat
Logaritma
Polinomial
Trigonometri
Lingkaran
Vektor
UN Matematika SMP 2018
Soal 1.
Hasil dari $6\times (-7+4) : (-6-3)= ....$
A. $-6$
B. $-2$
C. $2$
D. $6$
Pembahasan: C
$6\times (-7+4) : (-6-3)=6\times (-3) : (-9)= (-18) : (-9) =2$
Hasil dari $6\times (-7+4) : (-6-3)= ....$
A. $-6$
B. $-2$
C. $2$
D. $6$
Pembahasan: C
$6\times (-7+4) : (-6-3)=6\times (-3) : (-9)= (-18) : (-9) =2$
Soal 2.
Hasil dari $\frac{\frac{3}{5} + \frac{1}{2}}{\frac{3}{5} - \frac{1}{2}}$ adalah ....
A. $\frac{1}{10}$
B. $\frac{1}{11}$
C. $10$
D. $11$
Pembahasan: D
Hasil dari $\frac{\frac{3}{5} + \frac{1}{2}}{\frac{3}{5} - \frac{1}{2}}$ adalah ....
A. $\frac{1}{10}$
B. $\frac{1}{11}$
C. $10$
D. $11$
Pembahasan: D
$\frac{\frac{3}{5} + \frac{1}{2}}{\frac{3}{5} - \frac{1}{2}}=\frac{\frac{6+5}{10}}{\frac{6-5}{10}}=\frac{\frac{11}{10}}{\frac{1}{10}}=\frac{11}{1}=11$
Soal 3.
Suhu udara di wilayah Jakarta $25^{\circ}C$. Di saat yang sama suhu udara di wilayah Tokyo Jepang $-6^{\circ}C$. Berapakah perbedaan suhu di kedua wilayah tersebut?
A. $31^{\circ}C$
B. $19^{\circ}C$
C. $-19^{\circ}C$
D. $-31^{\circ}C$
Pembahasan:
$25^{\circ}C - (-6^{\circ}C)=25^{\circ}C +6^{\circ}C=31^{\circ}C$
Suhu udara di wilayah Jakarta $25^{\circ}C$. Di saat yang sama suhu udara di wilayah Tokyo Jepang $-6^{\circ}C$. Berapakah perbedaan suhu di kedua wilayah tersebut?
A. $31^{\circ}C$
B. $19^{\circ}C$
C. $-19^{\circ}C$
D. $-31^{\circ}C$
Pembahasan:
$25^{\circ}C - (-6^{\circ}C)=25^{\circ}C +6^{\circ}C=31^{\circ}C$
Soal 4.
Panitia kegiatan sosial menerima sumbangan gula pasir beratnya $22\frac{3}{4}$ kg, $25\frac{1}{2}$ kg, dan $24\frac{1}{4}$ kg untuk dibagikan kepada sekelompok warga. Setiap warga menerima $2\frac{1}{2}$ kg. Berapa banyak warga yang menerima gula pasir tersebut?
A. $36$
B. $35$
C. $29$
D. $27$
Pembahasan:
Banyak gula pasir yang diterima:
$22\frac{3}{4}+25\frac{1}{2}+24\frac{1}{4} = (22+25+24) + (\frac{3}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4})=71 + (\frac{3}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2})=71 + (1+\frac{1}{2})=72\frac{1}{2}$
Banyak warga:
$72\frac{1}{2}: 2\frac{1}{2} = \frac{145}{2} : \frac {5}{2}=\frac{145}{2} \times \frac {2}{5}=\frac {145}{5}=29$
Panitia kegiatan sosial menerima sumbangan gula pasir beratnya $22\frac{3}{4}$ kg, $25\frac{1}{2}$ kg, dan $24\frac{1}{4}$ kg untuk dibagikan kepada sekelompok warga. Setiap warga menerima $2\frac{1}{2}$ kg. Berapa banyak warga yang menerima gula pasir tersebut?
A. $36$
B. $35$
C. $29$
D. $27$
Pembahasan:
Banyak gula pasir yang diterima:
$22\frac{3}{4}+25\frac{1}{2}+24\frac{1}{4} = (22+25+24) + (\frac{3}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4})=71 + (\frac{3}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2})=71 + (1+\frac{1}{2})=72\frac{1}{2}$
Banyak warga:
$72\frac{1}{2}: 2\frac{1}{2} = \frac{145}{2} : \frac {5}{2}=\frac{145}{2} \times \frac {2}{5}=\frac {145}{5}=29$
Soal 5.
Hasil dari $(-5)^3 +(-5)^2 +(-5)^1 +(-5)^0$ adalah ....
A. $156$
B. $30$
C. $-104$
D. $-105$
Pembahasan: C
$(-5)^3 +(-5)^2 +(-5)^1 +(-5)^0= -125 + 25 +(-5) +1=-104$
Hasil dari $(-5)^3 +(-5)^2 +(-5)^1 +(-5)^0$ adalah ....
A. $156$
B. $30$
C. $-104$
D. $-105$
Pembahasan: C
$(-5)^3 +(-5)^2 +(-5)^1 +(-5)^0= -125 + 25 +(-5) +1=-104$
Soal 6.
Hasil dari $\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}$ adalah ....
A. $-24 + 14 \sqrt{3}$
B. $24 + 14 \sqrt{3}$
C. $24 - 14 \sqrt{3}$
D. $-24 - 14 \sqrt{3}$
Pembahasan: A
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{4\cdot 3\sqrt{2} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}} \times \frac{3\sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{(12\sqrt{2} - 6 \sqrt{6})(3\sqrt{2} - 2 \sqrt{6})}{(3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{6})^2}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{36 \cdot 2 - 24 \cdot \sqrt{12} - 18\sqrt{12} + 12 \cdot 6}{18-24}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{72 - 24 \cdot 2\sqrt{3} - 18\cdot 2\sqrt{3} + 72 }{18-24}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{72 - 24 \cdot 2\sqrt{3} - 18\cdot 2\sqrt{3} + 72 }{-6}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{72 - 48\sqrt{3} - 36\sqrt{3} + 72}{-6}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{144 - 84\sqrt{3}}{-6}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=-24 + 14 \sqrt{3}$
Hasil dari $\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}$ adalah ....
A. $-24 + 14 \sqrt{3}$
B. $24 + 14 \sqrt{3}$
C. $24 - 14 \sqrt{3}$
D. $-24 - 14 \sqrt{3}$
Pembahasan: A
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{4\cdot 3\sqrt{2} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}} \times \frac{3\sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{(12\sqrt{2} - 6 \sqrt{6})(3\sqrt{2} - 2 \sqrt{6})}{(3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{6})^2}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{36 \cdot 2 - 24 \cdot \sqrt{12} - 18\sqrt{12} + 12 \cdot 6}{18-24}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{72 - 24 \cdot 2\sqrt{3} - 18\cdot 2\sqrt{3} + 72 }{18-24}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{72 - 24 \cdot 2\sqrt{3} - 18\cdot 2\sqrt{3} + 72 }{-6}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{72 - 48\sqrt{3} - 36\sqrt{3} + 72}{-6}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{144 - 84\sqrt{3}}{-6}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=-24 + 14 \sqrt{3}$
Soal 7.
Tiga suku berikutnya dari barisan 2, 3, 7, 16, ... adalah ....
A. $-24 + 14 \sqrt{3}$
B. $24 + 14 \sqrt{3}$
C. $24 - 14 \sqrt{3}$
D. $-24 - 14 \sqrt{3}$
Pembahasan: A
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{4\cdot 3\sqrt{2} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}} \times \frac{3\sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{(12\sqrt{2} - 6 \sqrt{6})(3\sqrt{2} - 2 \sqrt{6})}{(3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{6})^2}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{36 \cdot 2 - 24 \cdot \sqrt{12} - 18\sqrt{12} + 12 \cdot 6}{18-24}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{72 - 24 \cdot 2\sqrt{3} - 18\cdot 2\sqrt{3} + 72 }{18-24}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{72 - 24 \cdot 2\sqrt{3} - 18\cdot 2\sqrt{3} + 72 }{-6}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{72 - 48\sqrt{3} - 36\sqrt{3} + 72}{-6}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{144 - 84\sqrt{3}}{-6}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=-24 + 14 \sqrt{3}$
Tiga suku berikutnya dari barisan 2, 3, 7, 16, ... adalah ....
A. $-24 + 14 \sqrt{3}$
B. $24 + 14 \sqrt{3}$
C. $24 - 14 \sqrt{3}$
D. $-24 - 14 \sqrt{3}$
Pembahasan: A
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{4\cdot 3\sqrt{2} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}} \times \frac{3\sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{(12\sqrt{2} - 6 \sqrt{6})(3\sqrt{2} - 2 \sqrt{6})}{(3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{6})^2}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{36 \cdot 2 - 24 \cdot \sqrt{12} - 18\sqrt{12} + 12 \cdot 6}{18-24}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{72 - 24 \cdot 2\sqrt{3} - 18\cdot 2\sqrt{3} + 72 }{18-24}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{72 - 24 \cdot 2\sqrt{3} - 18\cdot 2\sqrt{3} + 72 }{-6}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{72 - 48\sqrt{3} - 36\sqrt{3} + 72}{-6}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=\frac{144 - 84\sqrt{3}}{-6}$
$\frac{4\sqrt{18} - 6 \sqrt{6}}{3\sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}=-24 + 14 \sqrt{3}$
Matriks: Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri
Soal 1. Sipenmaru 2016
Diketahui $A=\begin{pmatrix}2 & 1\\ 3 & 2\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}2 & 7\\ 5 & 8\end{pmatrix}$, dan $C=\begin{pmatrix}1 & -5\\ -4 & -4\end{pmatrix}$. Jika $XA=B+C$, maka matriks $X=$ ....
A. $\begin{pmatrix}-5 & 0\\ 2 & 7\end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix}5 & 0\\ 7 & 2\end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix}5 & 0\\ -7 & 2\end{pmatrix}$
D. $\begin{pmatrix}0 & 1\\ -10 & 7\end{pmatrix}$
E. $\begin{pmatrix}-1 & -1\\ 10 & 7\end{pmatrix}$
Pembahasan: D
$XA=B+C$
$X\begin{pmatrix}2 & 1\\ 3 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 7\\ 5 & 8\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1 & -5\\ -4 & -4\end{pmatrix}$
$X\begin{pmatrix}2 & 1\\ 3 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 2\\ 1 & 4\end{pmatrix}$
$X=\begin{pmatrix}3 & 2\\ 1 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 1\\ 3 & 2\end{pmatrix}^{-1}$
$X=\begin{pmatrix}3 & 2\\ 1 & 4\end{pmatrix}\frac{1}{2\cdot 2 - 1\cdot 3}\begin{pmatrix}2 & -1\\ -3 & 2\end{pmatrix}$
$X=\begin{pmatrix}3 & 2\\ 1 & 4\end{pmatrix}\frac{1}{2\cdot 2 - 1\cdot 3}\begin{pmatrix}2 & -1\\ -3 & 2\end{pmatrix}$
$X=\begin{pmatrix}3 & 2\\ 1 & 4\end{pmatrix}\frac{1}{4-3}\begin{pmatrix}2 & -1\\ -3 & 2\end{pmatrix}$
$X=\begin{pmatrix}3 & 2\\ 1 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & -1\\ -3 & 2\end{pmatrix}$
$X=\begin{pmatrix}0 & 1\\ -10 & 7\end{pmatrix}$
Diketahui $A=\begin{pmatrix}2 & 1\\ 3 & 2\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}2 & 7\\ 5 & 8\end{pmatrix}$, dan $C=\begin{pmatrix}1 & -5\\ -4 & -4\end{pmatrix}$. Jika $XA=B+C$, maka matriks $X=$ ....
A. $\begin{pmatrix}-5 & 0\\ 2 & 7\end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix}5 & 0\\ 7 & 2\end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix}5 & 0\\ -7 & 2\end{pmatrix}$
D. $\begin{pmatrix}0 & 1\\ -10 & 7\end{pmatrix}$
E. $\begin{pmatrix}-1 & -1\\ 10 & 7\end{pmatrix}$
Pembahasan: D
$XA=B+C$
$X\begin{pmatrix}2 & 1\\ 3 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 7\\ 5 & 8\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1 & -5\\ -4 & -4\end{pmatrix}$
$X\begin{pmatrix}2 & 1\\ 3 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 2\\ 1 & 4\end{pmatrix}$
$X=\begin{pmatrix}3 & 2\\ 1 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 1\\ 3 & 2\end{pmatrix}^{-1}$
$X=\begin{pmatrix}3 & 2\\ 1 & 4\end{pmatrix}\frac{1}{2\cdot 2 - 1\cdot 3}\begin{pmatrix}2 & -1\\ -3 & 2\end{pmatrix}$
$X=\begin{pmatrix}3 & 2\\ 1 & 4\end{pmatrix}\frac{1}{2\cdot 2 - 1\cdot 3}\begin{pmatrix}2 & -1\\ -3 & 2\end{pmatrix}$
$X=\begin{pmatrix}3 & 2\\ 1 & 4\end{pmatrix}\frac{1}{4-3}\begin{pmatrix}2 & -1\\ -3 & 2\end{pmatrix}$
$X=\begin{pmatrix}3 & 2\\ 1 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & -1\\ -3 & 2\end{pmatrix}$
$X=\begin{pmatrix}0 & 1\\ -10 & 7\end{pmatrix}$
Kumpulan Soal Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri:
Persamaan Kuadrat
Logaritma
Polinomial
Trigonometri
Lingkaran
Vektor
Lingkaran: Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri
Soal 1. Sipenmaru 2017
Jika diameter suatu lingkaran terletak pada titik $A(3, -2)$ dan titik $B(5,8)$ maka persamaan lingkaran tersebut adalah ....
A. $x^2 +y^2 +4x-3y-4=0$
B. $x^2 +y^2 +4x-3y+1=0$
C. $x^2 +y^2 +8x+6y-3=0$
D. $x^2 +y^2 -8x+6y-2=0$
E. $x^2 +y^2 -8x-6y-1=0$
Pembahasan: E
Menentukan titik pusat lingkaran.
Titik pusat lingkaran merupakan titik tengah dari diameter ($AB$), maka
$P=(\frac{3+5}{2},\frac{-2+8}{2})$
$P=(4,3)$
Menentukan panjang jari-jari lingkaran
Panjang jari-jari lingkaran adalah setengah dari panjang diameternya (setengah dari jarak titik A ke titik B).
$r=\frac{1}{2} \sqrt{(5-3)^2 + (8-(-2))^2}=\frac{1}{2} \sqrt{4 + 100}=\frac{1}{2} \sqrt{104}=\frac{1}{2} \sqrt{4\cdot 26}=\frac{1}{2}\cdot 2 \sqrt{26}=\sqrt{26}$
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (4,3) dan memiliki jari-jari $\sqrt{26}$
$(x-4)^2 +(y-3)^2 = (\sqrt{26})^2$
$x^2 -8x+16 +y^2-6y+9 = 26$
$x^2 +y^2-8x-6y+25 - 26=0$
$x^2 +y^2-8x-6y-1=0$
Jika diameter suatu lingkaran terletak pada titik $A(3, -2)$ dan titik $B(5,8)$ maka persamaan lingkaran tersebut adalah ....
A. $x^2 +y^2 +4x-3y-4=0$
B. $x^2 +y^2 +4x-3y+1=0$
C. $x^2 +y^2 +8x+6y-3=0$
D. $x^2 +y^2 -8x+6y-2=0$
E. $x^2 +y^2 -8x-6y-1=0$
Pembahasan: E
Menentukan titik pusat lingkaran.
Titik pusat lingkaran merupakan titik tengah dari diameter ($AB$), maka
$P=(\frac{3+5}{2},\frac{-2+8}{2})$
$P=(4,3)$
Menentukan panjang jari-jari lingkaran
Panjang jari-jari lingkaran adalah setengah dari panjang diameternya (setengah dari jarak titik A ke titik B).
$r=\frac{1}{2} \sqrt{(5-3)^2 + (8-(-2))^2}=\frac{1}{2} \sqrt{4 + 100}=\frac{1}{2} \sqrt{104}=\frac{1}{2} \sqrt{4\cdot 26}=\frac{1}{2}\cdot 2 \sqrt{26}=\sqrt{26}$
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (4,3) dan memiliki jari-jari $\sqrt{26}$
$(x-4)^2 +(y-3)^2 = (\sqrt{26})^2$
$x^2 -8x+16 +y^2-6y+9 = 26$
$x^2 +y^2-8x-6y+25 - 26=0$
$x^2 +y^2-8x-6y-1=0$
Soal 2. Sipenmaru 2016
Persamaan lingkaran yang melalui titik-titik $(-3, -5)$, $(-2,2)$, dan (5, 1) adalah ....
A. $x^2 +y^2 +4x+8y-25=0$
B. $x^2 +y^2 +4x-8y-15=0$
C. $x^2 +y^2 +2x+4y-25=0$
D. $x^2 +y^2 -2x-4y-15=0$
E. $x^2 +y^2 -2x+4y-20=0$
Pembahasan: E
Suatu persamaan lingkaran dapat dinyatakan dalam $x^2 +y^2+Ax+By+C=0$
i) lingkaran melalui titik $(-3, -5)$, maka
$(-3)^2 +(-5)^2+A(-3)+B(-5)+C=0$
$9+25-3A-5B+C=0$
$-3A-5B+C=-34$ .............. Persamaan (1)
ii) Lingkaran melalui titik $(-2, -2)$, maka
$(-2)^2 +(2)^2+A(-2)+B(2)+C=0$
$4+4-2A+2B+C=0$
$-2A+2B+C=-8$ .............. Persamaan (2)
iii) Lingkaran melalui titik $(5, 1)$, maka
$(5)^2 +(1)^2+A(5)+B(1)+C=0$
$25+1+5A+B+C=0$
$5A+B+C=-26$ .............. Persamaan (3)
Eliminasi persamaan (1) dan (2)
$-3A-5B+C=-34$
$-2A+2B+C=-8$
__________________________-
$-A-7B=-26$ ................ Persamaan (4)
Eliminasi persamaan (2) dan (3)
$-2A+2B+C=-8$
$5A+B+C=-26$
__________________________-
$-7A+B=18$ ................ Persamaan (5)
Eliminasi persamaan (4) dan (5)
$-A-7B=-26$ $|\times 7|$ $-7A-49B=-182$
$-7A+B=18$ $|\times 1|$ $-7A+B=18$
_____________________-
$-50B=-200$
$B=4$ ................ Persamaan (6)
Substitusikan persamaan (6) ke (4)
$-A-7B=-26$
$-A-7(4)=-26$
$-A-28=-26$
$-A=2$
$A=-2$ ................ Persamaan (7)
Substitusikan persamaan (7) ke (2)
$-2A+2B+C=-8$
$-2(-2)+2(4)+C=-8$
$4+8+C=-8$
$C=-20$
Jadi, persamaan lingkaran tersebut adalah $x^2+y^2-2x+4y-20=0$.
Persamaan lingkaran yang melalui titik-titik $(-3, -5)$, $(-2,2)$, dan (5, 1) adalah ....
A. $x^2 +y^2 +4x+8y-25=0$
B. $x^2 +y^2 +4x-8y-15=0$
C. $x^2 +y^2 +2x+4y-25=0$
D. $x^2 +y^2 -2x-4y-15=0$
E. $x^2 +y^2 -2x+4y-20=0$
Pembahasan: E
Suatu persamaan lingkaran dapat dinyatakan dalam $x^2 +y^2+Ax+By+C=0$
i) lingkaran melalui titik $(-3, -5)$, maka
$(-3)^2 +(-5)^2+A(-3)+B(-5)+C=0$
$9+25-3A-5B+C=0$
$-3A-5B+C=-34$ .............. Persamaan (1)
ii) Lingkaran melalui titik $(-2, -2)$, maka
$(-2)^2 +(2)^2+A(-2)+B(2)+C=0$
$4+4-2A+2B+C=0$
$-2A+2B+C=-8$ .............. Persamaan (2)
iii) Lingkaran melalui titik $(5, 1)$, maka
$(5)^2 +(1)^2+A(5)+B(1)+C=0$
$25+1+5A+B+C=0$
$5A+B+C=-26$ .............. Persamaan (3)
Eliminasi persamaan (1) dan (2)
$-3A-5B+C=-34$
$-2A+2B+C=-8$
__________________________-
$-A-7B=-26$ ................ Persamaan (4)
Eliminasi persamaan (2) dan (3)
$-2A+2B+C=-8$
$5A+B+C=-26$
__________________________-
$-7A+B=18$ ................ Persamaan (5)
Eliminasi persamaan (4) dan (5)
$-A-7B=-26$ $|\times 7|$ $-7A-49B=-182$
$-7A+B=18$ $|\times 1|$ $-7A+B=18$
_____________________-
$-50B=-200$
$B=4$ ................ Persamaan (6)
Substitusikan persamaan (6) ke (4)
$-A-7B=-26$
$-A-7(4)=-26$
$-A-28=-26$
$-A=2$
$A=-2$ ................ Persamaan (7)
Substitusikan persamaan (7) ke (2)
$-2A+2B+C=-8$
$-2(-2)+2(4)+C=-8$
$4+8+C=-8$
$C=-20$
Jadi, persamaan lingkaran tersebut adalah $x^2+y^2-2x+4y-20=0$.
Kumpulan Soal Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri:
Persamaan Kuadrat
Logaritma
Polinomial
Trigonometri
Matriks Vektor
Persamaan Kuadrat: Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri
Soal 1. SIMAK UI 2013
Misalkan $x^2 + b_{1}x+c_1=0$ mempunyai akar-akar $\alpha$ dan $\beta$, dengan $(\alpha - \beta)^2 = 4$. Jika $x^2 + b_{2}x+c_2=0$ mempunyai akar-akar $\alpha + \beta$ dan $\alpha - \beta$, maka rasio $c_2 : b_1$ yang mungkin adalah ....
A. 2 : 1
B. 1 : 2
C. 1 : 1
D. 1 : 3
E. 3 : 1
Pembahasan:
$(\alpha - \beta)^2 = 4 \leftrightarrow \alpha - \beta = -2$ atau $\alpha - \beta = 2$
$x^2 + b_{1}x+c_1=0$ mempunyai akar-akar $\alpha$ dan $\beta$ sehingga diperoleh
$\alpha + \beta = -b_1$
$x^2 + b_{2}x+c_2=0$ mempunyai akar-akar $\alpha + \beta$ dan $\alpha - \beta$, sehingga diperoleh
$(\alpha + \beta)(\alpha - \beta) = c_2$
(i) Jika $\alpha - \beta = -2$, maka
$c_2 = (\alpha + \beta)(\alpha - \beta)=(-b_1)(-2)=2b_1$.
Akibatnya,
$\frac{c_2}{b_1}=\frac{2b_1}{b_1}=2$
(ii) Jika $\alpha - \beta = 2$, maka
$c_2 = (\alpha + \beta)(\alpha - \beta)=(-b_1)(2)=-2b_1$.
Akibatnya,
$\frac{c_2}{b_1}=\frac{-2b_1}{b_1}=-2$
Jadi, rasio $c_2 : b_1 = 2 : 1$
Misalkan $x^2 + b_{1}x+c_1=0$ mempunyai akar-akar $\alpha$ dan $\beta$, dengan $(\alpha - \beta)^2 = 4$. Jika $x^2 + b_{2}x+c_2=0$ mempunyai akar-akar $\alpha + \beta$ dan $\alpha - \beta$, maka rasio $c_2 : b_1$ yang mungkin adalah ....
A. 2 : 1
B. 1 : 2
C. 1 : 1
D. 1 : 3
E. 3 : 1
Pembahasan:
$(\alpha - \beta)^2 = 4 \leftrightarrow \alpha - \beta = -2$ atau $\alpha - \beta = 2$
$x^2 + b_{1}x+c_1=0$ mempunyai akar-akar $\alpha$ dan $\beta$ sehingga diperoleh
$\alpha + \beta = -b_1$
$x^2 + b_{2}x+c_2=0$ mempunyai akar-akar $\alpha + \beta$ dan $\alpha - \beta$, sehingga diperoleh
$(\alpha + \beta)(\alpha - \beta) = c_2$
(i) Jika $\alpha - \beta = -2$, maka
$c_2 = (\alpha + \beta)(\alpha - \beta)=(-b_1)(-2)=2b_1$.
Akibatnya,
$\frac{c_2}{b_1}=\frac{2b_1}{b_1}=2$
(ii) Jika $\alpha - \beta = 2$, maka
$c_2 = (\alpha + \beta)(\alpha - \beta)=(-b_1)(2)=-2b_1$.
Akibatnya,
$\frac{c_2}{b_1}=\frac{-2b_1}{b_1}=-2$
Jadi, rasio $c_2 : b_1 = 2 : 1$
Soal 2. SIMAK UI 2012
Akar-akar positif dari persamaan kuadrat $x^2 +mx+n=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$. Jika $2\beta - \alpha = 12$ dam $\alpha^2 = 4\beta$, maka $m+n=$....
A. $-39$
B. $-16$
C. $0$
D. $16$
E. $39$
Pembahasan: A
$\alpha>0$ dan $\beta > 0$
$2\beta - \alpha = 12 \leftrightarrow 2\beta = \alpha + 12$
$\alpha^2 = 4\beta$
$\leftrightarrow \alpha^2 = 2 (2\beta)$
$\leftrightarrow \alpha^2 = 2 (\alpha + 12)$
$\leftrightarrow \alpha^2 = 2 \alpha + 24$
$\leftrightarrow \alpha^2 - 2 \alpha - 24=0$
$\leftrightarrow (\alpha -6)(\alpha+4)=0$
$\leftrightarrow \alpha = 6$ atau $\alpha = -4$
Karena $\alpha >0$ maka $\alpha =6$, sehingga
$2\beta = \alpha + 12 \leftrightarrow 2\beta = 6 + 12=18 \leftrightarrow \beta=9$
$x^2 +mx+n=0$ mempunyai akar-akar $\alpha$ dan $\beta$, sehingga diperoleh
$\alpha + \beta = -m \leftrightarrow 6+9=-m \leftrightarrow m=-15$
$\alpha \cdot \beta = n \leftrightarrow 6\cdot 9 =n \leftrightarrow n=54$
Jadi, $m+n=(-15)+54=-39$
Akar-akar positif dari persamaan kuadrat $x^2 +mx+n=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$. Jika $2\beta - \alpha = 12$ dam $\alpha^2 = 4\beta$, maka $m+n=$....
A. $-39$
B. $-16$
C. $0$
D. $16$
E. $39$
Pembahasan: A
$\alpha>0$ dan $\beta > 0$
$2\beta - \alpha = 12 \leftrightarrow 2\beta = \alpha + 12$
$\alpha^2 = 4\beta$
$\leftrightarrow \alpha^2 = 2 (2\beta)$
$\leftrightarrow \alpha^2 = 2 (\alpha + 12)$
$\leftrightarrow \alpha^2 = 2 \alpha + 24$
$\leftrightarrow \alpha^2 - 2 \alpha - 24=0$
$\leftrightarrow (\alpha -6)(\alpha+4)=0$
$\leftrightarrow \alpha = 6$ atau $\alpha = -4$
Karena $\alpha >0$ maka $\alpha =6$, sehingga
$2\beta = \alpha + 12 \leftrightarrow 2\beta = 6 + 12=18 \leftrightarrow \beta=9$
$x^2 +mx+n=0$ mempunyai akar-akar $\alpha$ dan $\beta$, sehingga diperoleh
$\alpha + \beta = -m \leftrightarrow 6+9=-m \leftrightarrow m=-15$
$\alpha \cdot \beta = n \leftrightarrow 6\cdot 9 =n \leftrightarrow n=54$
Jadi, $m+n=(-15)+54=-39$
Soal 3. SIMAK UI 2014
Jika $m$ dan $n$ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat $2x^2 +x-2=0$, maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah $m^3 - n^2$ dan $n^3 - m^2$ adalah ....
A. $32x^2 +101 x - 124 =0$
B. $32x^2 -101 x + 124 =0$
$m+n=-\frac{1}{2}$
$mn=-1$
$(m^3 - n^2)+(n^3 - m^2) = (m^3 + n^3) - (m^2+n^2)$
$(m^3 - n^2)+(n^3 - m^2) = [(m + n)^3 - 3mn(m+n)] - [(m+n)^2 - 2mn]$
$(m^3 - n^2)+(n^3 - m^2) = [(-\frac{1}{2})^3 - 3(-1)(-\frac{1}{2})] - [(-\frac{1}{2})^2 - 2(-1)]$
$(m^3 - n^2)(n^3 - m^2) = (mn)^3 -m^5 -n^5 + (mn)^2$
$(m^3 - n^2)(n^3 - m^2) = (-1)^3 -(m^5 + n^5) + (-1)^2$
Mencari $m^5 + n^5$
Dengan menggunakan binomial newton atau boleh juga menggunakan segitiga pascal, diperoleh bahwa
$(m+n)^5= m^5 +5m^4n+10m^3 n^2+ 10m^2n^3+5mn^4+n^5$
$m^5 + n^5= (m+n)^5 - 5m^4n - 10m^3 n^2 - 10m^2n^3 - 5mn^4$
$m^5 + n^5= (m+n)^5 - 5m^4n - 5mn^4 - 10m^3 n^2 - 10m^2n^3$
$m^5 + n^5= (m+n)^5 - 5mn(m^3 + n^3) - 10(mn)^2(m+n)$
$m^5 + n^5= (-\frac{1}{2})^5 - 5(-1)(-\frac{13}{8}) - 10(-1)^2(-\frac{1}{2})$
$m^5 + n^5= -\frac{1}{32} - \frac{65}{8}) - 10(1)(-\frac{1}{2})$
$m^5 + n^5= -\frac{1}{32}) -\frac{65}{8})+5$
$m^5 + n^5= \frac{-1-260+160}{32})$
$m^5 + n^5= -\frac{101}{32})$
$(m^3 - n^2)(n^3 - m^2) = -1 -( -\frac{101}{32})) + 1$
$(m^3 - n^2)(n^3 - m^2) = \frac{101}{32}$
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah $m^3 - n^2$ dan $n^3 - m^2$ adalah
$x^2 - ((m^3 - n^2)+(n^3 - m^2))x + (m^3 - n^2)(n^3 - m^2)=0$
$x^2 - (-\frac{31}{8})x + \frac{101}{32}=0$
------------------------------------------ (Kalikan kedua ruas dengan 32)
$32x^2 +124x + 101=0$
Jika $m$ dan $n$ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat $2x^2 +x-2=0$, maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah $m^3 - n^2$ dan $n^3 - m^2$ adalah ....
A. $32x^2 +101 x - 124 =0$
B. $32x^2 -101 x + 124 =0$
C. $-32x^2 +101 x - 124 =0$
D. $-32x^2 -101 x - 124 =0$
E. $-32x^2 +101 x + 124 =0$
Pembahasan: Tidak ada jawaban
$2x^2 +x-2=0$ memiliki akar-akar $m$ dan $n$, sehingga$m+n=-\frac{1}{2}$
$mn=-1$
$(m^3 - n^2)+(n^3 - m^2) = (m^3 + n^3) - (m^2+n^2)$
$(m^3 - n^2)+(n^3 - m^2) = [(m + n)^3 - 3mn(m+n)] - [(m+n)^2 - 2mn]$
$(m^3 - n^2)+(n^3 - m^2) = [(-\frac{1}{2})^3 - 3(-1)(-\frac{1}{2})] - [(-\frac{1}{2})^2 - 2(-1)]$
$(m^3 - n^2)+(n^3 - m^2) = [-\frac{1}{8} - \frac{3}{2})] - [\frac{1}{4} +2]$
$(m^3 - n^2)+(n^3 - m^2) = (-\frac{13}{8}) - (\frac{9}{4})$
$(m^3 - n^2)+(n^3 - m^2) = -\frac{31}{8}$
$(m^3 - n^2)(n^3 - m^2) = (mn)^3 -m^5 -n^5 + (mn)^2$
$(m^3 - n^2)(n^3 - m^2) = (-1)^3 -(m^5 + n^5) + (-1)^2$
Mencari $m^5 + n^5$
Dengan menggunakan binomial newton atau boleh juga menggunakan segitiga pascal, diperoleh bahwa
$(m+n)^5= m^5 +5m^4n+10m^3 n^2+ 10m^2n^3+5mn^4+n^5$
$m^5 + n^5= (m+n)^5 - 5m^4n - 10m^3 n^2 - 10m^2n^3 - 5mn^4$
$m^5 + n^5= (m+n)^5 - 5m^4n - 5mn^4 - 10m^3 n^2 - 10m^2n^3$
$m^5 + n^5= (m+n)^5 - 5mn(m^3 + n^3) - 10(mn)^2(m+n)$
$m^5 + n^5= (-\frac{1}{2})^5 - 5(-1)(-\frac{13}{8}) - 10(-1)^2(-\frac{1}{2})$
$m^5 + n^5= -\frac{1}{32} - \frac{65}{8}) - 10(1)(-\frac{1}{2})$
$m^5 + n^5= -\frac{1}{32}) -\frac{65}{8})+5$
$m^5 + n^5= \frac{-1-260+160}{32})$
$m^5 + n^5= -\frac{101}{32})$
$(m^3 - n^2)(n^3 - m^2) = -1 -( -\frac{101}{32})) + 1$
$(m^3 - n^2)(n^3 - m^2) = \frac{101}{32}$
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah $m^3 - n^2$ dan $n^3 - m^2$ adalah
$x^2 - ((m^3 - n^2)+(n^3 - m^2))x + (m^3 - n^2)(n^3 - m^2)=0$
$x^2 - (-\frac{31}{8})x + \frac{101}{32}=0$
------------------------------------------ (Kalikan kedua ruas dengan 32)
$32x^2 +124x + 101=0$
Soal 4. Sipenmaru 2016
Diketahui akar-akar persamaan kuadrat $x^2 -px+p+1=0$ adalah $x_1$ dan $x_2$. Jika ${x_1}^2 +{x_2}^2 =6$ maka nilai $p=$ ...
A. $-2$ atau $4$
B. $-3$ atau $5$
C. $-4$ atau $2$
D. $-5$ atau $3$
E. $-6$ atau $1$
Pembahasan: A
$x^2 -px+p+1=0$ mempunyai akar-akar $x_1$ dan $x_2$, sehingga
$x_1 + x_2 = p$
$x_1 x_2 = p+1$
${x_1}^2 +{x_2}^2 =6$
$(x_1 + x_2)^2 -2x_1 x_2 =6$
$p^2 - 2(p+1)=6$
$p^2 -2p -2=6$
$p^2 -2p -8 =0$
$(p+2)(p-4)=0$
$p=-2$ atau $p=4$
Diketahui akar-akar persamaan kuadrat $x^2 -px+p+1=0$ adalah $x_1$ dan $x_2$. Jika ${x_1}^2 +{x_2}^2 =6$ maka nilai $p=$ ...
A. $-2$ atau $4$
B. $-3$ atau $5$
C. $-4$ atau $2$
D. $-5$ atau $3$
E. $-6$ atau $1$
Pembahasan: A
$x^2 -px+p+1=0$ mempunyai akar-akar $x_1$ dan $x_2$, sehingga
$x_1 + x_2 = p$
$x_1 x_2 = p+1$
${x_1}^2 +{x_2}^2 =6$
$(x_1 + x_2)^2 -2x_1 x_2 =6$
$p^2 - 2(p+1)=6$
$p^2 -2p -2=6$
$p^2 -2p -8 =0$
$(p+2)(p-4)=0$
$p=-2$ atau $p=4$
Soal 5. Sipenmaru 2017
Diketahui akar-akar persamaan kuadrat $x^2 +px-3p+1=0$ adalah $x_1$ dan $x_2$. Jika ${x_1}^2 +{x_2}^2 =5$ maka nilai $p=$ ...
A. $-8$ atau $0$
B. $-7$ atau $1$
C. $-6$ atau $2$
D. $-5$ atau $3$
E. $-4$ atau $4$
Pembahasan: B
$x^2 +px-3p+1=0$ mempunyai akar-akar $x_1$ dan $x_2$, sehingga
$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 x_2 = -3p+1$
${x_1}^2 +{x_2}^2 =5$
$(x_1 + x_2)^2 -2x_1 x_2 =5$
$(-p)^2 - 2(-3p+1)=5$
$p^2 +6p -2=5$
$p^2 +6p -7 =0$
$(p+7)(p-1)=0$
$p=-7$ atau $p=1$
Diketahui akar-akar persamaan kuadrat $x^2 +px-3p+1=0$ adalah $x_1$ dan $x_2$. Jika ${x_1}^2 +{x_2}^2 =5$ maka nilai $p=$ ...
A. $-8$ atau $0$
B. $-7$ atau $1$
C. $-6$ atau $2$
D. $-5$ atau $3$
E. $-4$ atau $4$
Pembahasan: B
$x^2 +px-3p+1=0$ mempunyai akar-akar $x_1$ dan $x_2$, sehingga
$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 x_2 = -3p+1$
${x_1}^2 +{x_2}^2 =5$
$(x_1 + x_2)^2 -2x_1 x_2 =5$
$(-p)^2 - 2(-3p+1)=5$
$p^2 +6p -2=5$
$p^2 +6p -7 =0$
$(p+7)(p-1)=0$
$p=-7$ atau $p=1$
Kumpulan Soal Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri:
Logaritma
Polinomial
Trigonometri
Lingkaran
Vektor
Logaritma: Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri
Soal 1. SIMAK UI 2014
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $log{|x+1|}\geq log{3} + log{|2x-1|}$ adalah ....
A. $\{x\in \mathbb{R} | \frac{2}{7} \leq x \leq \frac{4}{5}, x \neq \frac{1}{2}\}$
B. $\{x\in \mathbb{R} | \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{4}{5}\}$
C. $\{x\in \mathbb{R} | \frac{2}{7} \leq x \leq \frac{4}{5}\}$
D. $\{x\in \mathbb{R} | x \leq -1 \ atau\ x > \frac{1}{2}\}$
E. $\{x\in \mathbb{R} | x \leq \frac{4}{5}, x \neq \frac{1}{2}\}$
Pembahasan: A
$log{|x+1|}\geq log{3} + log{|2x-1|}$
$log{|x+1|}\geq log{3|2x-1|}$
$log{|x+1|}\geq log{|6x-3|}$
$|x+1|\geq |6x-3|$
$(x+1)^2\geq (6x-3)^2$
$x^2 +2x+1 \geq 36x^2 -36x+9$
$-35x^2 +38x -8x \geq 0$
$35x^2 -38x + 8x \leq 0$
$(7x-2)(5x-4) \leq 0$
Pembuat nol: $x=\frac{2}{7}$ atau $\frac{4}{5}$
Syarat: Ingat bahwa numerus dalam logaritma haruslah $> 0$ sehingga
$x+1\neq 0 \leftrightarrow x\neq -1$ dan $2x-1\neq0 \leftrightarrow x \neq \frac{1}{2}$
Hp = $\{x\in \mathbb{R} | \frac{2}{7} \leq x \leq \frac{4}{5}, x \neq \frac{1}{2}\}$
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $log{|x+1|}\geq log{3} + log{|2x-1|}$ adalah ....
A. $\{x\in \mathbb{R} | \frac{2}{7} \leq x \leq \frac{4}{5}, x \neq \frac{1}{2}\}$
B. $\{x\in \mathbb{R} | \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{4}{5}\}$
C. $\{x\in \mathbb{R} | \frac{2}{7} \leq x \leq \frac{4}{5}\}$
D. $\{x\in \mathbb{R} | x \leq -1 \ atau\ x > \frac{1}{2}\}$
E. $\{x\in \mathbb{R} | x \leq \frac{4}{5}, x \neq \frac{1}{2}\}$
Pembahasan: A
$log{|x+1|}\geq log{3} + log{|2x-1|}$
$log{|x+1|}\geq log{3|2x-1|}$
$log{|x+1|}\geq log{|6x-3|}$
$|x+1|\geq |6x-3|$
$(x+1)^2\geq (6x-3)^2$
$x^2 +2x+1 \geq 36x^2 -36x+9$
$-35x^2 +38x -8x \geq 0$
$35x^2 -38x + 8x \leq 0$
$(7x-2)(5x-4) \leq 0$
Pembuat nol: $x=\frac{2}{7}$ atau $\frac{4}{5}$
Syarat: Ingat bahwa numerus dalam logaritma haruslah $> 0$ sehingga
$x+1\neq 0 \leftrightarrow x\neq -1$ dan $2x-1\neq0 \leftrightarrow x \neq \frac{1}{2}$
Hp = $\{x\in \mathbb{R} | \frac{2}{7} \leq x \leq \frac{4}{5}, x \neq \frac{1}{2}\}$
Soal 2. SBMPTN 2014
Penyelesaian pertidaksamaan $^{1-|x|}\log {3x-1}<1$ adalah ....
A. $\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{3} < x < \frac{2}{3}$
C. $\frac{1}{3} < x < 1$
D. $\frac{1}{2} < x < \frac{2}{3}$
E. $\frac{1}{2} < x < 1$
Pembahasan: E.
Syarat,
(i) numerus dalam logaritma harus $>0$
$3x-1>0$
$3x > 1$
$x>\frac{1}{3}$
(ii) basis harus $>0$ dan $\neq 1$
$1-|x|>0$
$-|x|>-1$
$|x|<1$
$-1<x<1$, dan
$1-|x|\neq 1$
$-|x| \neq 0$
$|x| \neq 0$
Berdasarkan kedua syarat tersebut, diperoleh bahwa nilai x yang memenuhi terletak pada interval \frac{1}{3}<x<1
Ketaksamaan numerus
$^{1-|x|}\log {3x-1}<1$
$^{1-|x|}\log {3x-1}<^{1-|x|}\log {1-|x|}$
${3x-1}>1-|x|$, (karena \frac{1}{3}<x<1, maka 1-|x|<1)
$3x-2>-|x|$
$|x|>2-3x$
$x^2 > (2-3x)$
$x^2 > 4 - 12x + 9x^2$
$-8x^2 +12x-4 >0$
$2x^2 -3x+1<0$
$(2x-1)(x-1)<0$
Pembuat nol: $x=\frac{1}{2}$ atau $x=1$
$\frac{1}{2}<x<1$.
Jadi, himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan tersebut yaitu$\frac{1}{2}<x<1$
Penyelesaian pertidaksamaan $^{1-|x|}\log {3x-1}<1$ adalah ....
A. $\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{3} < x < \frac{2}{3}$
C. $\frac{1}{3} < x < 1$
D. $\frac{1}{2} < x < \frac{2}{3}$
E. $\frac{1}{2} < x < 1$
Pembahasan: E.
Syarat,
(i) numerus dalam logaritma harus $>0$
$3x-1>0$
$3x > 1$
$x>\frac{1}{3}$
(ii) basis harus $>0$ dan $\neq 1$
$1-|x|>0$
$-|x|>-1$
$|x|<1$
$-1<x<1$, dan
$1-|x|\neq 1$
$-|x| \neq 0$
$|x| \neq 0$
Berdasarkan kedua syarat tersebut, diperoleh bahwa nilai x yang memenuhi terletak pada interval \frac{1}{3}<x<1
Ketaksamaan numerus
$^{1-|x|}\log {3x-1}<1$
$^{1-|x|}\log {3x-1}<^{1-|x|}\log {1-|x|}$
${3x-1}>1-|x|$, (karena \frac{1}{3}<x<1, maka 1-|x|<1)
$3x-2>-|x|$
$|x|>2-3x$
$x^2 > (2-3x)$
$x^2 > 4 - 12x + 9x^2$
$-8x^2 +12x-4 >0$
$2x^2 -3x+1<0$
$(2x-1)(x-1)<0$
Pembuat nol: $x=\frac{1}{2}$ atau $x=1$
Jadi, himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan tersebut yaitu$\frac{1}{2}<x<1$
Soal 3. Sipenmaru 2016
$^{2}\log {3}=1$ dan $^{2}\log {7}=b$ maka $^{6}\log {28}=$ ....
A. $\frac{a+1}{2b+ab}$
B. $\frac{a-2}{a+ab}$
C. $\frac{a+1}{b+2}$
D. $\frac{b+1}{a+b}$
E. $\frac{b+2}{a+1}$
Pembahasan:E
$^{6}\log {28}=\frac{^{2}\log {28}}{^{2}\log {6}}=\frac{^{2}\log {7\cdot 4}}{^{2}\log {3\cdot 2}}=\frac{^{2}\log {7}+^{2}\log {4}}{^{2}\log {3}+^{2}\log {2}}=\frac{b+2}{a+1}$
$^{2}\log {3}=1$ dan $^{2}\log {7}=b$ maka $^{6}\log {28}=$ ....
A. $\frac{a+1}{2b+ab}$
B. $\frac{a-2}{a+ab}$
C. $\frac{a+1}{b+2}$
D. $\frac{b+1}{a+b}$
E. $\frac{b+2}{a+1}$
Pembahasan:E
$^{6}\log {28}=\frac{^{2}\log {28}}{^{2}\log {6}}=\frac{^{2}\log {7\cdot 4}}{^{2}\log {3\cdot 2}}=\frac{^{2}\log {7}+^{2}\log {4}}{^{2}\log {3}+^{2}\log {2}}=\frac{b+2}{a+1}$
Kumpulan Soal dan Pembahasan Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri:
Persamaan Kuadrat
Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat memiliki bentuk umum:
Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Umumnya, terdapat 3 cara untuk menentukan persamaan kuadrat.
1. Memfaktorkan
2. Menggunakan rumus
3. Melengkapkan kuadrat sempurna
Jenis-Jenis Akar Persamaan Kuadrat
Dari persamaan kuadrat $ax^2 + bx+c = 0$, dapat ditentukan nilai dari deskriminannya yaitu
Persamaan Kuadrat Baru
$ax^2 + bx+c = 0$
dengan $a$, $b$, dan $c$ bilangan riil, dan $a\neq 0$
Umumnya, terdapat 3 cara untuk menentukan persamaan kuadrat.
1. Memfaktorkan
2. Menggunakan rumus
3. Melengkapkan kuadrat sempurna
Jenis-Jenis Akar Persamaan Kuadrat
Dari persamaan kuadrat $ax^2 + bx+c = 0$, dapat ditentukan nilai dari deskriminannya yaitu
$D=b^2 -4ac$
Nilai deskriminan ini dapat digunakan untuk menentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat, yaitu sebagai berikut.
(i) Persamaan kuadrat memiliki dua akar riil, maka $D>=0$
(ii) Persamaan kuadrat memiliki dua akar riil berlainan, maka $D>0$
(iii) Persamaan kuadrat memiliki akar kembar, maka $D=0$
(iv) Persamaan kuadrat memiliki akar yang imajiner $D<0$
Polinomial: Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri
Soal 1. Sipenmaru 2017
Suku banyak $f(x)$ dibagi $x-1$ sisanya 4 dan dibagi dengan $x-3$ sisanya 16. Jika f(x) dibagi dengan $x^2 -4x+3$ maka sisa pembagiannya adalah ....
A. $5x-1$
B. $6x-2$
C. $7x-3$
D. $8x-4$
E. $9x-5$
Pembahasan: B
f(x) dibagi $x^2 -4x+3$ akan memiliki sisa berbentuk $S(x)=ax+b$, sehingga
$f(x)=H(x) \cdot (x^2 -4x+3) + (ax+b)$
$f(x)$ dibagi $x-1$ sisanya 4, sehingga $f(1)=4$
$f(1)=H(1) \cdot (1^2 -4(1)+3) + (a(1) +b)$
$4 = 0 + a + b$
$a+b = 4$ ....................................... Pers (1)
$f(x)$ dibagi $x-3$ sisanya 16, sehingga $f(3)=16$
$f(3)=H(3) \cdot (3^2 -4(3)+3) + (a(3) +b)$
$16 = 0 + 3a + b$
$3a+b = 16$ .................................... Pers (2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2)
$3a+b = 16$
$a+b = 4$
_____________-
$ 2a = 12$
$a=\frac{12}{2}$
$a=6$
Substitusikan ke (1)
$a+b = 4$
$6+b =4$
$b=4-6=-2$
Jadi sisa pembagiannya adalah $6x-2$
Suku banyak $f(x)$ dibagi $x-1$ sisanya 4 dan dibagi dengan $x-3$ sisanya 16. Jika f(x) dibagi dengan $x^2 -4x+3$ maka sisa pembagiannya adalah ....
A. $5x-1$
B. $6x-2$
C. $7x-3$
D. $8x-4$
E. $9x-5$
Pembahasan: B
f(x) dibagi $x^2 -4x+3$ akan memiliki sisa berbentuk $S(x)=ax+b$, sehingga
$f(x)=H(x) \cdot (x^2 -4x+3) + (ax+b)$
$f(x)$ dibagi $x-1$ sisanya 4, sehingga $f(1)=4$
$f(1)=H(1) \cdot (1^2 -4(1)+3) + (a(1) +b)$
$4 = 0 + a + b$
$a+b = 4$ ....................................... Pers (1)
$f(x)$ dibagi $x-3$ sisanya 16, sehingga $f(3)=16$
$f(3)=H(3) \cdot (3^2 -4(3)+3) + (a(3) +b)$
$16 = 0 + 3a + b$
$3a+b = 16$ .................................... Pers (2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2)
$3a+b = 16$
$a+b = 4$
_____________-
$ 2a = 12$
$a=\frac{12}{2}$
$a=6$
Substitusikan ke (1)
$a+b = 4$
$6+b =4$
$b=4-6=-2$
Jadi sisa pembagiannya adalah $6x-2$
Soal 2. Sipenmaru 2016
Suku banyak $f(x)$ dibagi $x-2$ sisanya 5 dan dibagi dengan $x^2 -x -6$ sisanya $3x-1$. Jika f(x) dibagi dengan $x^2 -4$ maka sisa pembagiannya adalah ....
A. $x-2$
B. $x+2$
C. $2x-3$
D. $3x-1$
E. $2x+1$
Pembahasan: D
f(x) dibagi $x^2 -4=(x-2)(x+2)$ akan memiliki sisa berbentuk $S(x)=ax+b$, sehingga
$f(x)=H(x) \cdot (x-2)(x+2) + (ax+b)$
$f(x)$ dibagi $x-2$ sisanya 5, sehingga $f(2)=5$
$f(2)=H(2) \cdot (2-2)(2+2) + (a(2) +b)$
$5 =0 + 2a + b$
$2a+b = 5$ ....................................... Pers (1)
$f(x)$ dibagi $x^2 -x -6=(x-3)(x+2)$ sisanya 3x-1, sehingga
$f(x)=H_1 (x) \cdot (x-3)(x+2) +3x-1$
$f(-2)=H_1 (-2) \cdot (-2-3)(-2+2) +3(-2)-1$
$f(-2)= 0-6-1$
$f(-2)=-7$
$f(x)=H(x) \cdot (x-2)(x+2) + (ax+b)$
$f(-2)=H(-2) \cdot (-2-2)(-2+2) + (a(-2) +b)$
$-7 = 0 -2a + b$
$-2a+b = -7$ .................................... Pers (2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2)
$2a+b = 5$
$-2a+b = -7$
_____________-
$ 4a = 12$
$a=\frac{12}{4}$
$a=3$
Substitusikan ke (1)
$2a+b = 5$
$2(3)+b =5$
$b=5-6=-1$
Jadi sisa pembagiannya adalah $3x-1$
Suku banyak $f(x)$ dibagi $x-2$ sisanya 5 dan dibagi dengan $x^2 -x -6$ sisanya $3x-1$. Jika f(x) dibagi dengan $x^2 -4$ maka sisa pembagiannya adalah ....
A. $x-2$
B. $x+2$
C. $2x-3$
D. $3x-1$
E. $2x+1$
Pembahasan: D
f(x) dibagi $x^2 -4=(x-2)(x+2)$ akan memiliki sisa berbentuk $S(x)=ax+b$, sehingga
$f(x)=H(x) \cdot (x-2)(x+2) + (ax+b)$
$f(x)$ dibagi $x-2$ sisanya 5, sehingga $f(2)=5$
$f(2)=H(2) \cdot (2-2)(2+2) + (a(2) +b)$
$5 =0 + 2a + b$
$2a+b = 5$ ....................................... Pers (1)
$f(x)$ dibagi $x^2 -x -6=(x-3)(x+2)$ sisanya 3x-1, sehingga
$f(x)=H_1 (x) \cdot (x-3)(x+2) +3x-1$
$f(-2)=H_1 (-2) \cdot (-2-3)(-2+2) +3(-2)-1$
$f(-2)= 0-6-1$
$f(-2)=-7$
$f(x)=H(x) \cdot (x-2)(x+2) + (ax+b)$
$f(-2)=H(-2) \cdot (-2-2)(-2+2) + (a(-2) +b)$
$-7 = 0 -2a + b$
$-2a+b = -7$ .................................... Pers (2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2)
$2a+b = 5$
$-2a+b = -7$
_____________-
$ 4a = 12$
$a=\frac{12}{4}$
$a=3$
Substitusikan ke (1)
$2a+b = 5$
$2(3)+b =5$
$b=5-6=-1$
Jadi sisa pembagiannya adalah $3x-1$
Soal 3. SIMAK UI 2014
Diketahui $p(x)$ dan $g(x)$ adalah dua suku banyak yang berbeda, dengan $p(10)=m$ dan $g(10)=n$. Jika $p(x) h(x)=(\frac{p(x)}{g(x)}-1)(p(x)+g(x))$, $h(10)=-\frac{16}{15}$, maka nilai maksimum dari $|m+n|=$....
A. 8
B. 6
C. 4
D. 2
E. 0
Pembahasan: A
$p(x) h(x)=(\frac{p(x)}{g(x)}-1)(p(x)+g(x))$
$p(10) h(10)=(\frac{p(10)}{g(10)}-1)(p(10)+g(10))$
$m\cdot -\frac{16}{15}=(\frac{m}{n}-1)(m+n)$
$-\frac{16m}{15}=\frac{m-n}{n}\cdot (m+n)$
$-\frac{16m}{15}=\frac{(m-n)(m+n)}{n}$
$-16mn=15(m-n)(m+n)$
$-16mn=15(m^2-n^2)$
$-16mn=15m^2-15n^2$
$15m^2 +16mn -15n^2$
$(5m-3n)(3m+5n)=0$
$m=\frac{3}{5}n$ atau $m=-\frac{5}{3}n$
Ada banyak nilai $m$ dan $n$ yang memenuhi. Jika $n=5$, maka $m=3$ sehingga diperoleh $|m+n|=|3+5|=8$ sebagai nilai maksimum yang terdapat pada pilihan.
Diketahui $p(x)$ dan $g(x)$ adalah dua suku banyak yang berbeda, dengan $p(10)=m$ dan $g(10)=n$. Jika $p(x) h(x)=(\frac{p(x)}{g(x)}-1)(p(x)+g(x))$, $h(10)=-\frac{16}{15}$, maka nilai maksimum dari $|m+n|=$....
A. 8
B. 6
C. 4
D. 2
E. 0
Pembahasan: A
$p(x) h(x)=(\frac{p(x)}{g(x)}-1)(p(x)+g(x))$
$p(10) h(10)=(\frac{p(10)}{g(10)}-1)(p(10)+g(10))$
$m\cdot -\frac{16}{15}=(\frac{m}{n}-1)(m+n)$
$-\frac{16m}{15}=\frac{m-n}{n}\cdot (m+n)$
$-\frac{16m}{15}=\frac{(m-n)(m+n)}{n}$
$-16mn=15(m-n)(m+n)$
$-16mn=15(m^2-n^2)$
$-16mn=15m^2-15n^2$
$15m^2 +16mn -15n^2$
$(5m-3n)(3m+5n)=0$
$m=\frac{3}{5}n$ atau $m=-\frac{5}{3}n$
Ada banyak nilai $m$ dan $n$ yang memenuhi. Jika $n=5$, maka $m=3$ sehingga diperoleh $|m+n|=|3+5|=8$ sebagai nilai maksimum yang terdapat pada pilihan.
Soal 4. SBMPTN 2017
Hasil bagi $p(x)=(a-2b)x^3+(a+b)x^2+1$ oleh $x-1$ adalah $q(x)$ dengan sisa $1$. Jika $q(x)$ dibagi oleh $x+2$ bersisa $-8$, maka $a+b=$ ....
A. $-2$
B. $-1$
C. $1$
D. $2$
E. $3$
Pembahasan: D
Hasil bagi $p(x)=(a-2b)x^3+(a+b)x^2+1$ oleh $x-1$ adalah $q(x)$ dengan sisa $1$, maka dapat dinyatakan bahwa
$(a-2b)x^3+(a+b)x^2+1=q(x)\cdot (x-1) +1$
dan karena $q(x)$ dibagi oleh $x+2$ bersisa $-8$, maka
$(a-2b)x^3+(a+b)x^2+1=[h(x) \dot (x+2) + (-8)] \cdot (x-1) +1$
Untuk $x=1$, maka
$(a-2b)(1)^3+(a+b)(1)^2+1=[h(1) \dot (1+2) + (-8)] \cdot (1-1) +1$
$(a-2b)+(a+b)+1=1$
$2a-b+1=1$
$2a-b=0$
$2a=b$
Untuk $x=-2$, maka
$(a-2b)(-2)^3+(a+b)(-2)^2+1=[h(-2) \dot (-2+2) + (-8)] \cdot (-2-1) +1$
$(a-2b)(-8) + (a+b)(4) +1= (-8)\cdot (-3) +1$
$-8a+16b+4a+4b+1=24+1$
$-4a+20b+1=25$
$-4a+20b=24$
$-4a+20(2a)=24$
$-4a+40a=24$
$36a=24$
$a=\frac{24}{36}$
$a=\frac{2}{3}$
$2a=b \leftrightarrow b=2(\frac{2}{3})= \leftrightarrow \frac{4}{3}$
Jadi, $a+b=\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=\frac{6}{3}=2$
Hasil bagi $p(x)=(a-2b)x^3+(a+b)x^2+1$ oleh $x-1$ adalah $q(x)$ dengan sisa $1$. Jika $q(x)$ dibagi oleh $x+2$ bersisa $-8$, maka $a+b=$ ....
A. $-2$
B. $-1$
C. $1$
D. $2$
E. $3$
Pembahasan: D
Hasil bagi $p(x)=(a-2b)x^3+(a+b)x^2+1$ oleh $x-1$ adalah $q(x)$ dengan sisa $1$, maka dapat dinyatakan bahwa
$(a-2b)x^3+(a+b)x^2+1=q(x)\cdot (x-1) +1$
dan karena $q(x)$ dibagi oleh $x+2$ bersisa $-8$, maka
$(a-2b)x^3+(a+b)x^2+1=[h(x) \dot (x+2) + (-8)] \cdot (x-1) +1$
Untuk $x=1$, maka
$(a-2b)(1)^3+(a+b)(1)^2+1=[h(1) \dot (1+2) + (-8)] \cdot (1-1) +1$
$(a-2b)+(a+b)+1=1$
$2a-b+1=1$
$2a-b=0$
$2a=b$
Untuk $x=-2$, maka
$(a-2b)(-2)^3+(a+b)(-2)^2+1=[h(-2) \dot (-2+2) + (-8)] \cdot (-2-1) +1$
$(a-2b)(-8) + (a+b)(4) +1= (-8)\cdot (-3) +1$
$-8a+16b+4a+4b+1=24+1$
$-4a+20b+1=25$
$-4a+20b=24$
$-4a+20(2a)=24$
$-4a+40a=24$
$36a=24$
$a=\frac{24}{36}$
$a=\frac{2}{3}$
$2a=b \leftrightarrow b=2(\frac{2}{3})= \leftrightarrow \frac{4}{3}$
Jadi, $a+b=\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=\frac{6}{3}=2$
Kumpulan soal masuk perguruan tinggi negeri:
Persamaan Kuadrat
Logaritma
Trigonometri
Vektor
Persamaan Garis Lurus
Gradien Garis
- Gradien garis merupakan suatu bilangan yang menyatakan kemiringan dari suatu garis.
- Gradien garis yang melalui dua titik $A(x_1, y_1)$ dan $B(x_2, y_2)$ yaitu
$m_{AB}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
- Gradien garis yang mempunyai persamaan $y=mx+ c$ adalah $m$ yaitu koefisien dari variabel x.
- Gradien garis yang mempunyai persamaan $ax+by+c=0$ adalah $-\frac{a}{b}$.
Persamaan Garis
- Garis lurus dapat dinyatakan dalam persamaan:
$y=mx+c$
dengan:
m= gradien garis
c= konstanta
- Persamaan garis lurus yang dilalui oleh titik $A(x_1, y_1)$ dan memiliki gradien $m$ dapat ditentukan dengan rumus berikut.
$y-y_1=m(x-x_1)$
- Persamaan garis lurus yang dilalui oleh titik $A(x_1, y_1)$ dan $B(x_2, y_2)$ dapat ditentukan dengan rumus berikut.
$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$
Hubungan antara dua garis
1. Dua garis sejajar.
Jika garis $k$ dan garis $l$ sejajar, maka
$m_k = m_l$
dengan:
$m_k$= gradien garis $k$
$m_l$= gradien garis $l$
2. Dua garis tegak lurus
Jika garis $k$ dan garis $l$ membentuk sudut siku-siku (saling tegak lurus), maka
$m_k \cdot m_l= -1$
dengan:
$m_k$= gradien garis $k$
$m_l$= gradien garis $l$
Baca juga Persamaan Garis Lurus
Subscribe to:
Posts (Atom)
-
Bentuk umum: $a^n$ dengan a sebagai bilangan pokok atau basis, dan b sebagai pangkat. Definisi: $a^n=\underbrace{a\times a \times a\... -
Buku Mandiri Matematika Soal 1 KIR SMP 252 akan melakukan penelitian mengenai "Kenakalan Remaja di DKI". Populasinya adalah ......