Latihan Soal dan Pembahasan Logaritma

Soal 1.
Diketahui ${^3 \log {x}}=4$, maka nilai dari $x=....$
Jawab:
${^2 \log {x}}=-3 \leftrightarrow x=2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$

Soal 2.
Diketahui ${^3 \log {x}}=4$, maka nilai dari $x=....$
Jawab:
${^3 \log {x}}=4 \leftrightarrow x=3^4$

Soal 3.
Nilai dari ${^2 \log 8 }= ....$
Jawab:
 ${^2 \log 8} = {^2 \log {2^3}}=3 \cdot ^2 \log {2}$

Soal 4.
Hasil dari ${^3 \log {63}}- {^3 \log {7}} + {^6 log {36}}= ....$
Jawab:
${^3 \log {63}}- {^3 \log {7}} + {^6 log {36}} ={^3 \log {\frac{ 63}{7}}} + {^6 log {6^2}}$
${^3 \log {63}}- {^3 \log {7}} + {^6 log {36}} ={^3 \log {9}} + {^6 log {6^2}}$
${^3 \log {63}}- {^3 \log {7}} + {^6 log {36}} ={^3 \log {3^2}} + {^6 log {6^2}}$
${^3 \log {63}}- {^3 \log {7}} + {^6 log {36}} ={2\cdot ^3 \log {3^2}} + {2\cdot ^6 log {6^2}}$
${^3 \log {63}}- {^3 \log {7}} + {^6 log {36}} =2+ 2=4$

Soal 5.
Jika nilai dari $^2 \log {3}=a$ maka nilai dari $^3 log {2}= ....$
Jawab:
$^3 log {2}= \frac {1}{^2\log{3}}=\frac {1}{a}$

Soal 6.
Jika nilai dari $^4 \log {3}=a$ maka nilai dari $^2 log {3}= ....$
Jawab:
$^4 \log {3}=a$
$^{2^2} \log {3}=a$
$\frac{1}{2}{^{2} \log {3}}=a$

Soal 7.
Jika nilai dari $^25 \log {3}=m$ maka nilai dari $^27 log {5}= ....$
Jawab:
$^25 \log {3}=m$
$^{5^2} \log {3}=m$
$\frac{1}{2}{^{5} \log {3}}=m$ $^5 \log {3}=2m$
$^27 log {5}= ^{3^3}\log {5}=\frac{1}{3} \cdot {^3 \log {5}}=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{^5 \log {3}}=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2m}=\frac{1}{6m}$

Soal 8.
Diketahui $^5 \log 3 = a$ dan $^3 \log 4 = b$, maka nilai $^4 \log {15} = ....$
a.  $\frac{1+a}{ab}$
b.  $\frac{1+a}{1+b}$
c.  $\frac{1+b}{1-a}$
d.  $\frac{ab}{1-a}$
e.  $\frac{ab}{1-b}$
Jawab: A.
$^4 \log {15} =\frac{^3 log {15}}{^3 \log {4}}$
$^4 \log {15} =\frac{^3 log {5\times 3}}{^3 \log {4}}$
$^4 \log {15} =\frac{^3 \log {5} +^3 log {3}}{^3 \log {4}}$
$^4 \log {15} =\frac{\frac{1}{a} +1}{b}$
$^4 \log {15} =\frac{\frac{1}{a} +1}{b}\times \frac{a}{a}$
$^4 \log {15} =\frac{1+a}{ab}$.

Soal 9.
Diketahui $^2 \log 3 = x$ dan $^2 \log 10 = y$, maka nilai $^6 \log {120} = ....$
a.  $\frac{x}{xy+2}$
b.  $\frac{xy+2}{x}$
c.  $\frac{2xy}{x+1}$
d.  $\frac{x+y+2}{x+1}$
e.  $\frac{x+1}{x+y+2}$
Jawab: D.
$^6 \log {120} =\frac{^2 log {120}}{^2 \log {6}}$
$^6 \log {120} =\frac{^2 log {12\times 10}}{^2 \log {3\times 2}}$
$^6 \log {120} =\frac{^2 \log {12} +^2 log {10}}{^2 \log {3}+{^2 \log {2}}}$
$^6 \log {120} =\frac{^2 \log {3 \times 4} +^2 log {10}}{^2 \log {3}+{^2 \log {2}}}$
$^6 \log {120} =\frac{^2 \log {3}+ ^2 \log {4}+^2 log {10}}{^2 \log {3}+{^2 \log {2}}}$
$^6 \log {120} =\frac{^2 \log {3}+ ^2 \log {2^2}+^2 log {10}}{^2 \log {3}+{^2 \log {2}}}$
$^6 \log {120} =\frac{^2 \log {3}+2\cdot ^2 \log {2}+^2 log {10}}{^2 \log {3}+{^2 \log {2}}}$
$^6 \log {120} =\frac{x+2+y}{x+1}=\frac{x+y+2}{x+1}$

Soal 10.
Diketahui $^3 \log 6 = p$ dan $^3 \log 2 = q$, maka nilai $^{24} \log 288 = ....$
a.  $\frac{2p+3q}{p+2q}$
b.  $\frac{3p+2q}{p+2q}$
c.  $\frac{p+2q}{2p+3q}$
d.  $\frac{p+2q}{3p+2q}$
e.  $\frac{2p+q}{2p+3q}$
Jawab: A.
$^24 \log {288} =\frac{^3 log {288}}{^3 \log {24}}$
$^24 \log {288} =\frac{^3 log {36\times 8}}{^3 \log {6 \times 4}}$
$^24 \log {288} =\frac{^3 log {36} +^3 log {8}}{^3 \log {6}+^3 log {4}}$
$^24 \log {288} =\frac{^3 log {6^2} +^3 log {2^3}}{^3 \log {6}+^3 log {2^2}}$
$^24 \log {288} =\frac{2\cdot ^3 log {6} +3\cdot ^3 log {2}}{^3 \log {6}+2\cdot ^3 log {2}}$
$^24 \log {288} =\frac{2p +3q}{p+2q}$

Soal 11.
Diketahui $^7 \log 2 = a$ dan $^2 \log 3 = b$, maka nilai $^{6} \log 14= ....$
a.  $\frac{a}{a+b}$
b.  $\frac{a+1}{b+1}$
c.  $\frac{a+1}{a(b+1)}$
d.  $\frac{b+1}{a+1}$
e.  $\frac{b+1}{b(a+1)}$
Jawab: C.
$^6 \log {14} =\frac{^2 log {14}}{^2 \log {6}}$
$^6 \log {14} =\frac{^2 log {7\times 2}}{^2 \log {3\times 2}}$
$^6 \log {14} =\frac{^2 log {7}+^2 log {2}}{^2 \log {3}+^2 \log {2}}$
$^6 \log {14} =\frac{\frac{1}{a}+1}{b+1}$
$^6 \log {14} =\frac{\frac{1}{a}+1}{b+1}\times \frac{a}{a}$
$^6 \log {14} =\frac{1+a}{a(b+1)}$

Baca juga artikel berikut:
Sifat-Sifat Logaritma dan Pembuktiannya
Soal dan Pembahasan Logaritma: Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri

Jawaban Soal Bab I - Modul Belajar Bimbel Gratis Kota Palembang

Soal 11.
Jika ${^{27} \log {5}}=p$,  ${^{25} \log {3}}+{^{243} \log {\sqrt{5}}}=....$
Jawab: B.
${^{27} \log {5}}=p$
$\leftrightarrow {^{3^3} \log {5}}=p$
$\leftrightarrow \frac{1}{3}\cdot{^{3} \log {5}}=p$
$\leftrightarrow {^{3} \log {5}}=3p$ .........(pers. 1)
$\leftrightarrow {^{5} \log {3}}=\frac{1}{3p}$ .........(pers. 2)

${^{25} \log {3}}+{^{243} \log {\sqrt{5}}}={^{5^2} \log {3}}+{^{3^5} \log {5^{\frac{1}{2}}}}$
$\leftrightarrow {^{25} \log {3}}+{^{243} \log {\sqrt{5}}}=\frac{1}{2}\cdot{^{5} \log {3}}+\frac{\frac{1}{2}}{5} \cdot {^{3^5} \log {5^{\frac{1}{2}}}}$
$\leftrightarrow {^{25} \log {3}}+{^{243} \log {\sqrt{5}}}=\frac{1}{2}\cdot{^{5} \log {3}}+\frac{1}{10} \cdot {^{3} \log {5}}$
$\leftrightarrow {^{25} \log {3}}+{^{243} \log {\sqrt{5}}}=\frac{1}{2}\cdot{^{5} \log {3}}+\frac{1}{10} \cdot {^{3} \log {5}}$
$\leftrightarrow {^{25} \log {3}}+{^{243} \log {\sqrt{5}}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3p}+\frac{1}{10} \cdot 3p$, (substitusikan pers. 1 dan pers. 2)
$\leftrightarrow {^{25} \log {3}}+{^{243} \log {\sqrt{5}}}=\frac{1}{6p}+\frac{3p}{10}$

Soal 12.
Nilai dari $\frac{{^{3} \log {\frac{1}{9}}}+{^{\sqrt{2}} \log {9}}\cdot {^{3} \log {16}}}{{^{2} \log {10}}-{^{2} \log {5}}}$
Jawab: D
$\frac{{^{3} \log {\frac{1}{9}}}+{^{\sqrt{2}} \log {9}}\cdot {^{3} \log {16}}}{{^{2} \log {10}}-{^{2} \log {5}}}=\frac{{^{3} \log {3^{-2}}}+{^{2^{1/2}} \log {3^{2}}}\cdot {^{3} \log {2^4}}}{^{2} \log {\frac{10}{5}}}$
$\leftrightarrow \frac{{^{3} \log {\frac{1}{9}}}+{^{\sqrt{2}} \log {9}}\cdot {^{3} \log {16}}}{{^{2} \log {10}}-{^{2} \log {5}}}=\frac{{-2}\cdot {^{3} \log {3}}+\frac{2}{\frac{1}{2}} \cdot {^{2} \log {3}}\cdot 4 \cdot {^{3} \log {2}}}{^{2} \log {2}}$
$\leftrightarrow \frac{{^{3} \log {\frac{1}{9}}}+{^{\sqrt{2}} \log {9}}\cdot {^{3} \log {16}}}{{^{2} \log {10}}-{^{2} \log {5}}}=\frac{{-2}\cdot 1+4 \cdot {^{2} \log {3}}\cdot 4 \cdot {^{3} \log {2}}}{1}$
$\leftrightarrow \frac{{^{3} \log {\frac{1}{9}}}+{^{\sqrt{2}} \log {9}}\cdot {^{3} \log {16}}}{{^{2} \log {10}}-{^{2} \log {5}}}={-2} + 4 \cdot 4 \cdot {^{2} \log {3}} \cdot {^{3} \log {2}}$
$\leftrightarrow \frac{{^{3} \log {\frac{1}{9}}}+{^{\sqrt{2}} \log {9}}\cdot {^{3} \log {16}}}{{^{2} \log {10}}-{^{2} \log {5}}}={-2} + 16 \cdot {^{2} \log {2}}$
$\leftrightarrow \frac{{^{3} \log {\frac{1}{9}}}+{^{\sqrt{2}} \log {9}}\cdot {^{3} \log {16}}}{{^{2} \log {10}}-{^{2} \log {5}}}={-2} + 4 \cdot 4 \cdot 1$
$\leftrightarrow \frac{{^{3} \log {\frac{1}{9}}}+{^{\sqrt{2}} \log {9}}\cdot {^{3} \log {16}}}{{^{2} \log {10}}-{^{2} \log {5}}}=14.$

Soal 13.
Nilai dari $\frac{{^{3} \log {2}} \cdot {^{4} \log {27}} \cdot {^{3} \log {81}}}{{^{2} \log {8}} - {^{2} \log {4}}}=....$
Jawab: D
$\frac{{^{3} \log {2}} \cdot {^{4} \log {27}} \cdot {^{3} \log {81}}}{{^{2} \log {8}} - {^{2} \log {4}}}=\frac{{^{3} \log {2}} \cdot {^{2^2} \log {3^3}} \cdot {^{3} \log {3^4}}}{{^{2} \log {\frac{8}{4}}}}$
$\leftrightarrow \frac{{^{3} \log {2}} \cdot {^{4} \log {27}} \cdot {^{3} \log {81}}}{{^{2} \log {8}} - {^{2} \log {4}}}=\frac{{^{3} \log {2}} \cdot \frac{3}{2} \cdot {^{2} \log {3}} \cdot 4 \cdot {^{3} \log {3}}}{{^{2} \log {\frac{8}{4}}}}$
$\leftrightarrow \frac{{^{3} \log {2}} \cdot {^{4} \log {27}} \cdot {^{3} \log {81}}}{{^{2} \log {8}} - {^{2} \log {4}}}=\frac{\frac{3}{2} \cdot 4 \cdot {^{3} \log {2}} \cdot  {^{2} \log {3}} \cdot {^{3} \log {3}}}{{^{2} \log {2}}}$
$\leftrightarrow \frac{{^{3} \log {2}} \cdot {^{4} \log {27}} \cdot {^{3} \log {81}}}{{^{2} \log {8}} - {^{2} \log {4}}}=\frac{6 \cdot {^{3} \log {3}} \cdot {1}}{1}$
$\leftrightarrow \frac{{^{3} \log {2}} \cdot {^{4} \log {27}} \cdot {^{3} \log {81}}}{{^{2} \log {8}} - {^{2} \log {4}}}=6 \cdot 1$
$\leftrightarrow \frac{{^{3} \log {2}} \cdot {^{4} \log {27}} \cdot {^{3} \log {81}}}{{^{2} \log {8}} - {^{2} \log {4}}}=6$

Soal 14.
Nilai $x$ yang memenuhi ${^{\frac{1}{3}} \log {(x+ \sqrt {3})}}+{^{\frac{1}{3}} \log {(x- \sqrt {3})}} > 0=....$
Jawab: C
(1) ${^{\frac{1}{3}} \log {(x+ \sqrt {3})}}+{^{\frac{1}{3}} \log {(x- \sqrt {3})}} > 0$
$ \leftrightarrow {^{\frac{1}{3}} \log {(x+ \sqrt {3})(x- \sqrt {3})}} > {^{\frac{1}{3}} \log {1}}$
$ \leftrightarrow (x+ \sqrt {3})(x- \sqrt {3}) < 1$
$ \leftrightarrow x^2 - 3 < 1$
$ \leftrightarrow x^2 - 4 < 0 $
$ \leftrightarrow x^2 - 4 < 0$
$ \leftrightarrow (x+2)(x-2) < 0$
Pembuat nol:
$x=-2$ atau $x=2$
Garis Bilangan:

$-2<x<2$

Syarat:
(2) $x+ \sqrt {3}>0 \leftrightarrow x>-\sqrt{3}$
(3) $x- \sqrt {3}>0 \leftrightarrow x>\sqrt{3}$

Irisan dari ketiga solusi tersebut yaitu:

Jadi, himpunan penyelesaiannya yaitu $\sqrt{3}<x<2$ (memenuhi ketiga arsiran).

Soal 15.
Nilai dari $\frac{{^{\sqrt {3}} \log {100}} \cdot {\log {9}} - {^5 \log {625}}}{{^2 \log {12}} - {^2 \log {3}}}=....$
Jawab: B
$\frac{{^{\sqrt {3}} \log {100}} \cdot {\log {9}} - {^5 \log {625}}}{{^2 \log {12}} - {^2 \log {3}}}=\frac{{^{3^{\frac{1}{2}}} \log {10^2}} \cdot {\log {3^2}} - {^5 \log {5^4}}}{^2 \log {\frac{12}{3}}}$
$\leftrightarrow \frac{{^{\sqrt {3}} \log {100}} \cdot {\log {9}} - {^5 \log {625}}}{{^2 \log {12}} - {^2 \log {3}}}=\frac{\frac{2}{\frac{1}{2}} \cdot {^{3} \log {10}} \cdot 2 \cdot {\log {3}} - 4 \cdot {^5 \log {5}}}{^2 \log {4}}$
$\leftrightarrow \frac{{^{\sqrt {3}} \log {100}} \cdot {\log {9}} - {^5 \log {625}}}{{^2 \log {12}} - {^2 \log {3}}}=\frac{4 \cdot 2 \cdot {^{3} \log {10}} \cdot {\log {3}} - 4 \cdot 1}{^2 \log {2^2}}$
$\leftrightarrow \frac{{^{\sqrt {3}} \log {100}} \cdot {\log {9}} - {^5 \log {625}}}{{^2 \log {12}} - {^2 \log {3}}}=\frac{8 \cdot {^{3} \log {3}} - 4}{2 \cdot {^2 \log {2}}}$, ingat bahwa ${\log {3}}$ memiliki basis 10 atau sama saja seperti ${^{10}\log {3}}$
$\leftrightarrow \frac{{^{\sqrt {3}} \log {100}} \cdot {\log {9}} - {^5 \log {625}}}{{^2 \log {12}} - {^2 \log {3}}}=\frac{8 \cdot 1 - 4}{2 \cdot 1}$
$\leftrightarrow \frac{{^{\sqrt {3}} \log {100}} \cdot {\log {9}} - {^5 \log {625}}}{{^2 \log {12}} - {^2 \log {3}}}=\frac{4}{2}$
$\leftrightarrow \frac{{^{\sqrt {3}} \log {100}} \cdot {\log {9}} - {^5 \log {625}}}{{^2 \log {12}} - {^2 \log {3}}}=2$

Sifat-Sifat Logaritma dan Pembuktiannya

Logaritma merupakan invers (kebalikan) dari eksponen.
Jika $a^b=c$, maka dapat juga dinyatakan dengan $b=^{a}\log{c}$

Sifat 1. $^{a}\log{1}=0$
Bukti.
Kita tahu bahwa $a^0=1$, jika diubah menjadi logaritma maka diperoleh $^a\log{1}=0$. (Terbukti)

Sifat 2. $^{a}\log{a}=1$
Bukti.
Kita tahu bahwa $a^1=a$, jika diubah menjadi logaritma maka diperoleh $^a\log{a}=1$. (Terbukti).

Sifat 3. $^{a}\log{b}+^a\log{c}=^a\log{bc}$
Bukti.
Misalkan:
$^{a}\log{b}=x \leftrightarrow a^x=b$
$^{a}\log{c}=y \leftrightarrow a^y=c$
Dengan sifat eksponen, diperoleh:
$a^{x}\cdot a^{y}=a^{x+y}$
$\leftrightarrow x+y=^a\log{(a^{x}\cdot a^{y})}$ (setelah diubah ke bentuk logaritma)
$\leftrightarrow ^{a}\log{b}+^{a}\log{c}=^a\log{bc}$ (dikembalikan ke bentuk pemisalan)
(Terbukti).

Sifat 4. $^{a}\log{b}-^a\log{c}=^a\log{\frac{b}{c}}$
Bukti.
Misalkan:
$^{a}\log{b}=x \leftrightarrow a^x=b$
$^{a}\log{c}=y \leftrightarrow a^y=c$
Dengan sifat eksponen, diperoleh:
$\frac{a^{x}}{a^{y}}=a^{x-y}$
$\leftrightarrow x-y=^a\log{(\frac{a^{x}}{a^{y}})}$ (setelah diubah ke bentuk logaritma)
$\leftrightarrow ^{a}\log{b}-^{a}\log{c}=^a\log{\frac{b}{c}}$ (dikembalikan ke bentuk pemisalan)
(Terbukti).

Sifat 5. $^{a}\log{b^m}=m\cdot ^{a}\log{b}$
Bukti.
$^{a}\log{b^m}=^{a}\log({\underbrace{b\cdot b\cdot b\cdot ... \cdot b}_{m-times}})$
$^{a}\log{b^m}=\underbrace{^{a}\log{b} + ^{a}\log{b}+^{a}\log{b} ... + ^{a}\log{b}}_{m-times}$ (diperoleh dengan menggunakan sifat 3.
$^{a}\log{b^m}=m\cdot ^{a}\log{b}$ (diperoleh dengan menggunakan definisi perkalian sebagai penjumlahan berulang). (Terbukti).

Sifat 6. $^{a^n}\log{b^m}=\frac{m}{n} \cdot ^{a}\log{b}$
Bukti.
Misalkan,
$^{a^n}\log{b^m}=x$, maka
$b^m=(a^n)^x$
$b^m=a^xn$
$(b^m)^{\frac{1}{n}}=(a^xn)^{\frac{1}{n}}$
$b^{\frac{m}{n}}=a^x$
$x=^a \log{b^{\frac{m}{n}}}$
$x=\frac{m}{n} \cdot ^{a}\log{b}$
Jadi, $^{a^n}\log{b^m}=\frac{m}{n} \cdot ^{a}\log{b}$

(Terbukti).

Sifat 7. $^{a}\log{b}=\frac{1}{^b \log{a}}$
Bukti.
Misalkan:
$^{a}\log{b}=x \leftrightarrow a^x=b \leftrightarrow (a^x)^{\frac{1}{x}}=b^{\frac{1}{x}} \leftrightarrow a=b^{\frac{1}{x}}$
$a=b^{\frac{1}{x}} \leftrightarrow \frac{1}{x}=^b \log{a} \leftrightarrow x=\frac{1}{^b \log{a}}$
sehingga diperoleh $^{a}\log{b}=\frac{1}{^b \log{a}}$
(Terbukti).

Sifat 8. $^{a}\log{b}=\frac{^m \log{b}}{^m \log{a}}$
Bukti.
$^{a}\log{b}=x$, maka
$a^x=b$
$^m \log{a^x}=^m \log{b}$
$x\cdot ^m \log{a}= ^m \log{b}$
$x=\frac{^m \log{b}}{^m \log{a}}$
$^{a}\log{b}=\frac{^m \log{b}}{^m \log{a}}$
(Terbukti).

Sifat 9. $a^{^{a}\log{b}}=b$
Bukti.
Misalkan:
$^{a}\log{b}=x$ maka $a^x=b$
$a^{^{a}\log{b}}=a^x=b$
(Terbukti).

Baca juga artikel berikut:
Latihan Soal dan Pembahasan Logaritma
Soal dan Pembahasan Logaritma: Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri

Soal dan Pembahasan Eksponen

Soal 1
Nilai dari $16^{0,25}\times (0,5)^{-0,5}$ adalah ....
      a.    $0$

      b.    $\sqrt{2}$

      c.    $2\sqrt{2}$

      d.    $-\sqrt{2}$

      e.    $-2\sqrt{2}$

Jawab: C
$16^{0,25}\times (0,5)^{-0,5}=(2^4)^{\frac{1}{4}}\times \left ( \frac{1}{2} \right )^{-\frac{1}{2}}=2\times (2)^{\frac{1}{2}}==2\times (2)^{\frac{1}{2}}=2\sqrt{2}.$

Soal 2

Nilai dari $\frac{(125)^{\frac{2}{3}}-(25)^{\frac{1}{2}}}{(81)^{\frac{1}{4}}+(27)^{\frac{1}{3}}}$ adalah ....

      a.    $\frac{8}{3}$

      b.    $\frac{10}{3}$

      c.    $\frac{14}{3}$

      d.    $\frac{16}{3}$

      e.    $\frac{20}{3}$

Jawab: B
$\frac{(125)^{\frac{2}{3}}-(25)^{\frac{1}{2}}}{(81)^{\frac{1}{4}}+(27)^{\frac{1}{3}}}=\frac{(5^3)^{\frac{2}{3}}-(5^2)^{\frac{1}{2}}}{(3^4)^{\frac{1}{4}}+(3^3)^{\frac{1}{3}}}=\frac{(125)^{\frac{2}{3}}-(25)^{\frac{1}{2}}}{(81)^{\frac{1}{4}}+(27)^{\frac{1}{3}}}=\frac{5^2-5}{3+3}=\frac{25-5}{3+3}=\frac{20}{6}=\frac{10}{3}.$

Soal 3
Bentuk sederhana dari $\left ( \frac{4x^{\frac{5}{2}}y^{\frac{-7}{3}}z^{\frac{-3}{4}}}{2x^{\frac{-3}{2}}y^{\frac{2}{3}}z^{\frac{5}{4}}} \right )^2$

      a.    $\frac{2x^4}{y^{3}z^{2}}$

      b.    $\frac{2x^{4}y}{z^2}$

      c.    $\frac{4x^{8}y^3}{z^2}$

      d.    $\frac{4x^{4}}{y^{3}z^{2}}$

      e.    $\frac{4x^{8}}{y^{6}z^{4}}$

Jawab: E
$\left ( \frac{4x^{\frac{5}{2}}y^{\frac{-7}{3}}z^{\frac{-3}{4}}}{2x^{\frac{-3}{2}}y^{\frac{2}{3}}z^{\frac{5}{4}}} \right )^2=\left ( 2x^{\frac{5}{2}-(\frac{-3}{2})} y^{\frac{-7}{3}-\frac{2}{3}} z^{\frac{-3}{4}-\frac{5}{4}} \right )^2=\left ( 2x^{\frac{8}{2}} y^{\frac{-9}{3}} z^{\frac{-8}{4}} \right )^2=\left ( 2x^{4} y^{-3} z^{-2} \right )^2=2^{2}x^{8} y^{-6} z^{-4}=\frac{4x^8}{y^{6} z^4}$

Soal 4
Bentuk sederhana dari $\left ( \frac{a^{3}b^{-2}c}{ab^{-4}c^{2}} \right )^{-1}$

      a.    $a^2b^3c$

      b.    $a^2b^2c$

      c.    $\frac{b^2c^2}{a^2}$

      d.    $\frac{b}{a^{2}c}$

      e.    $\frac{c}{a^{2}b^{2}}$

Jawab: E
$\left ( \frac{a^{3}b^{-2}c}{ab^{-4}c^{2}} \right )^{-1}=\frac{ab^{-4}c^{2}}{a^{3}b^{-2}c}=\frac{c^{2-1}}{a^{3-1}b^{-2+4}}=\frac{c}{a^{2}b^{2}}$

Soal 5
Bentuk sederhana dari $\frac{16a^{9}b^{2}c^{4}}{8a^{2}b^{6}c^{5}}$

      a.    $2(ac)^3$

      b.    $\frac{2b^{4}c}{a^7}$

      c.    $\frac{2a^4}{b^{7}c}$

      d.    $\frac{2a^7}{b^{4}c}$

      e.    $\frac{2a^{7}c}{b^{4}}$

Jawab: D
$\frac{16a^{9}b^{2}c^{4}}{8a^{2}b^{6}c^{5}}=\frac{2a^{9-2}}{b^{6-2}c^{5-4}}=\frac{2a^{7}}{b^{4}c}$

Soal 6
Bentuk sederhana dari $\left ( \frac{4p^{\frac{-1}{2}}q^{\frac{1}{2}}}{16p^{\frac{3}{2}}q^{\frac{-5}{2}}} \right )^{-1}$

      a.    $p^2q^3$

      b.    $\frac{4p^{2}}{q^{3}}$

      c.    $\frac{q^{3}}{4p^{2}}$

      d.    $\frac{4q^{3}}{p^{2}}$

      e.    $\frac{p^{2}}{4q^{3}}$

Jawab: B
$\left ( \frac{4p^{\frac{-1}{2}}q^{\frac{1}{2}}}{16p^{\frac{3}{2}}q^{\frac{-5}{2}}} \right )^{-1}=\frac{16p^{\frac{3}{2}}q^{\frac{-5}{2}}}{4p^{\frac{-1}{2}}q^{\frac{1}{2}}}=\frac{4p^{\frac{3}{2}+\frac{1}{2}}}{q^{\frac{1}{2}+\frac{5}{2}}}=\frac{4p^{\frac{4}{2}}}{q^{\frac{6}{2}}}=\frac{4p^{2}}{q^{3}}$

Soal 7
Bentuk sederhana dari $\left ( \frac{a^{-3} b^{-3}}{2a^2b^{-1}} \right )^{2}$

      a.    $\frac{1}{4a^{10}b^{4}}$

      b.    $\frac{1}{2a^{5}b^{10}}$

      c.    $\frac{b^2}{4a^{10}}$

      d.    $4a^{10}b^{4}$

      e.    $2a^{10}b^{2}$

Jawab: B
$\left ( \frac{a^{-3} b^{-3}}{2a^2b^{-1}} \right )^{2}=\left ( \frac{1}{2a^{2+3}b^{-1+3}} \right )^{2}=\left ( \frac{1}{2a^{5}b^{2}} \right )^{2}=\left ( \frac{1}{4a^{10}b^{4}} \right )$

Pembuktian Sifat-Sifat Eksponen

Bentuk umum:

$a^n$

dengan a sebagai bilangan pokok atau basis, dan b sebagai pangkat.
Definisi:

$a^n=\underbrace{a\times a \times a\times ... \times a}_{n\ kali}$

Contoh 1.
$2^4=2\times 2\times 2\times 2=16$


Contoh 2.
$\left ( -3 \right )^{3}=\left ( -3 \right )\times \left ( -3 \right )\times \left ( -3 \right )=-27$

Sifat-Sifat Eksponen

Sifat 1.

$a^m\times a^n=a^{m+n}$ 

Bukti:

$a^m\times a^n=(\underbrace{a\times a \times a\times ... \times a}_{m\ kali}) \times (\underbrace{a\times a \times a\times ... \times a}_{n\ kali})$

$\leftrightarrow a^m\times a^n=\underbrace{a\times a \times a\times ... \times a}_{m+n\ kali}$

$\leftrightarrow a^m\times a^n=a^{m+n}$

Contoh 3.

$2^3 \times 2^5 = 2^{3+5}=2^8$

Contoh 4.

$p^4 \times p^6 = p^{4+6}=p^{10}$

Sifat 2.

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

Bukti:

$\frac{a^m}{a^n}=\frac{( \underbrace{a\times a \times a\times ... \times a}_{m\ kali})}{( \underbrace{a\times a \times a\times ... \times a}_{n\ kali})}$

$\leftrightarrow \frac{a^m}{a^n}=\underbrace{a\times a \times a\times ... \times a}_{m-n\ kali}$

Contoh 5.

$\frac{3^7}{3^2}=3^{7-2}=3^5$

Contoh 6.

$\frac{q^10}{q^7}=q^{10-7}=q^3$

Sifat 3. (Implikasi Sifat 2)

$a^0=1$

Bukti:

$a^0=a^{m-m}$

$\leftrightarrow a^0=\frac{a^m}{a^m}$________________ (dari sifat 2)

$\leftrightarrow a^0=\frac{( \underbrace{a\times a \times a\times ... \times a}_{m\ kali})}{( \underbrace{a\times a \times a\times ... \times a}_{m\ kali})}$

$\leftrightarrow a^0=1$

Contoh 7.

$3^0=1$

Contoh 8.

$r^0=1$

Sifat 4. (Implikasi Sifat 2)

$a^{-m}=\frac{1}{m}$

Bukti:

$a^{-m}=a^{0-m}$

$\leftrightarrow a^{-m}=\frac{a^0}{a^m}$________________ (dari sifat 2)

$\leftrightarrow a^{-m}=\frac{1}{a^m}$

Contoh 9.

$5^{-1}=\frac{1}{5}$

Contoh 10.

$2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$

Cek juga soal dan pembahasannya pada Soal dan Pembahasan Eksponen

Sifat 5.

$\left ( a^{m} \right )^{n}=a^{mn}$

Bukti:

$(a^m)^n=\underbrace{a \times a \times ... \times a}_{mn\ kali}$
$\left ( a^{m} \right )^{n}=a^{mn}$

Contoh 11.

$(2^5)^{4}=2^{20}$

Contoh 12.
$27^5=(3^3)^5=3^{15}$

Sifat 6. $\left ( ab \right )^{m}=a^{m}\times b^{m}$

Bukti: $(ab)^m=\underbrace{(ab)\times (ab) \times ... \times (ab)}_{m\ kali}$ $(ab)^m=\underbrace{a \times a \times ... \times a}_{m\ kali} \times \underbrace{b \times b \times ... \times b}_{m\ kali}$
$(ab)^m=a^m \times b^m$

Contoh 13.

$(2mn)^{4}=2^4 m^4 n^4$

Contoh 14.
$(3a^3 b^2)^3=3^3 (a^3)^3 (b^2)^3=27a^9 b^6$

Sifat 7.

$\left ( {\frac{a}{b}} \right )^{m}=\frac{a^{m}}{ b^{m}}$

Bukti:
$\left ( {\frac{a}{b}} \right )^{m}= \underbrace{\frac{a}{b} \times \frac{a}{b} \times ... \times \frac{a}{b}}_{m\ kali}$
$\left ( {\frac{a}{b}} \right )^{m}= \frac{\underbrace{a \times a \times ... \times a}_{m\ kali}}{\underbrace{b \times b \times ... \times b}_{m\ kali}}$
$\left ( {\frac{a}{b}} \right )^{m}=\frac{a^{m}}{ b^{m}}$

Contoh 15.

$\left ( {\frac{p}{q}} \right )^{3}=\frac{p^{3}}{ q^{3}}$

Contoh 16.
$\left ( {\frac{m}{2n}} \right )^{5}=\frac{m^{5}}{2^{5} n^5}\frac{m^{5}}{32 n^5}$

Cek juga soal dan pembahasannya pada Soal dan Pembahasan Eksponen
Kumpulan Soal Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri:
Persamaan Kuadrat
Logaritma
Polinomial
Trigonometri
Lingkaran
Vektor

Fungsi

Definisi:

Pada dua himpunan tak kosong, $A$ dan $B$, $f$ merupakan fungsi dari A ke B atau dapat dikatakan juga $f$ memetakan $A$ ke $B$ ($f: A \rightarrow B$) jika $f$ memasangkan setiap anggota himpunan $A$ dengan tepat satu anggota himpunan $B$.

Himpunan $A$ kemudian dapat disebut sebagai daerah asal atau domain sedangkan himpunan B disebut daerah kawan atau kodomain. Pada himpunan B juga terdapat subhimpunan yang merupakan himpunan semua hasil pemetaan dari $A$ atau dapat dikatakan sebagai himpunan yang anggotanya adalah anggota $B$ yang memiliki pasangan dari A. Subhimpunan tersebut disebut dengan daerah hasil atau range, dan seringkali dilambangkan dengan $R$.

Fungsi seringkali dituliskan menggunakan rumus fungsi $y=f(x)$. Pada rumus fungsi tersebut, $x$ merupakan variabel bebas yang merupakan sebarang anggota domain, sedangkan $y$ merupakan variabel terikat yang merupakan anggota range dengan aturan $y=f(x)$

Cara Menyatakan Fungsi

Fungsi yang memetakan himpunan A ke himpunan B ($f: A \rightarrow B$) dapat dinyatakan dengan 3 cara.

Cara 1: Diagram Panah

Pada diagram panah, setiap anggota domain dihubungkan menggunakan panah sesuai aturan fungsi $f$ ke range. Perhatikan ilustrasi berikut.

Contoh 1.

Pada gambar tersebut $f$ merupakan fungsi karena setiap himpunan $A$ memiliki tepat satu pasangan di himpunan B. Himpunan $A=\{1, 2, 3, 4, 5\}$ merupakan domain dari $f$, himpunan $B=\{a, b, c, d, e, f, g, h\}$ merupakan kodomainnya, dan himpunan $R=\{a, b, c, d, e\}$ merupakan range.

Bilangan Asli

Di sekolah, kita belajar berbagai jenis bilangan. Seperti,

• Bilangan cacah 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....;
• Bilangan asli 1, 2, 3, 4, 5, ....;
• Bilangan positif $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$, $1$, $\frac{3}{2}$, $\sqrt{5}$, $\pi$, ....;
• Bilangan negatif; bilangan rasional; bilangan irasional; bilangan real; dan lain-lain.

Nah, kali ini kita akan memahami lebih dalam mengenai bilangan asli (a.k.a. bilangan natural).

Tulisan kali ini terinspirasi dari salah satu buku tulisan dari Pak Wono Setya Budhi, salah satu dosen di ITB, yang berjudul Teori Bilangan untuk SMA.

Dalam buku tersebut, dijelaskan bahwa terdapat aksioma yang menyebutkan sifat-sifat bilangan asli. Aksioma tersebut adalah aksioma Peano. Peano menyatakan bahwa bilangan asli ($\mathbb{N}$, re: natural numbers) memiliki properti sebagai berikut.

(i)   Bilangan natural memiliki bilangan istimewa yang kita kenal dengan "1" atau "satu"

(ii)  Untuk setiap bilangan natural $n$ ($n \in \mathbb{N}$) terdapat $n^{*}$ sebagai pengikut dari $n$
(iii) Untuk setiap bilangan natural $n$ ($n \in \mathbb{N}$) maka $n^{*} \neq n$
(iv) Jika $m, n \in \mathbb{N}$ adalah elemen bilangan natural dan $m^{*}=n^{*}$
(v)  Untuk setiap $K \subset \mathbb{N}$, dimana
       (a) $1\in K$
       (b) Jika $k \in K$, maka $k^{*} \in K$
       maka $K=\mathbb{N}$
Continued...