Notasi Sigma

Perhatikan penjumlahan berikut ini.

$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+...+98^2+99^2+100^2$                      ...... Persamaan (1)

Penjumlahan tersebut merupakan jumlah kuadrat 100 bilangan asli pertama. Untuk mempermudah penulisan dari penjumlahan tersebut, para matematikawan membuat suatu cara penulisan dari penjumlahan yang demikian. Cara tersebut dikenal dengan "Notasi Sigma".

Sigma ($\Sigma$) dalam matematika melambangkan penjumlahan dari suatu deretan bilangan. Notasi sigma tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut.
$\sum_{i=1}^{n}{a_i}=a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + .... + a_{n-1} + a_n$
dibaca: sigma (atau jumlah) $a_k$ dengan $i$ mulai dari 1 sampai dengan n.

Penjumlahan pada persamaan (1) dapat dituliskan dengan:

$\sum_{i=1}^{100}{i^2}$

Perlu diperhatikan bahwa untuk menggunakan notasi sigma, kita perlu terlebih dahulu menentukan bentuk umum dari penjumlahan yang dimaksud serta menentukan saat mulai dan berakhirnya nilai $i$.

Perhatikan contoh-contoh berikut.
1. $\sum_{i=1}^{5}{i}=1 + 2 + 3 + 4 +5$
2. $\sum_{i=1}^{6}{2i-1}=(2(1)-1) +(2(2)-1)+(2(3)-1)+(2(4)-1)+(2(5)-1)+(2(6)-1)$
3. $\sum_{i=1}^{4}{2^i}=2^1+2^2+2^3+2^4$
4. $\sum_{i=1}^{5}{\frac{1}{i}}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$

Sifat-Sifat Notasi Sigma
Sifat 1.
$\sum_{i=1}^{n}{c}=n \cdot c$, dengan c adalah konstan.

Sifat 2.
$\sum_{i=1}^{n}{xa_i}=x\cdot \sum_{i=1}^{n}{a_i}$, dengan x adalah bilangan riil tak nol.

Sifat 3.
$\sum_{i=1}^{n}{(a_i+b_i)}= \sum_{i=1}^{n}{a_i} + \sum_{i=1}^{n}{a_i}$

Beberapa deret bilangan dapat dihitung dengan menggunakan rumus tertentu yang dapat dibuktikan. Rumus-rumus deret bilangan itu sebagai berikut.

1. $\sum_{i=1}^{n}{i}=\frac{n(n+1)}{2}$

2. $\sum_{i=1}^{n}{i^2}=\frac{n(2n+1)(n+1)}{6}$

3. $\sum_{i=1}^{n}{(2i-1)^2}=n^2$

4. $\sum_{i=1}^{n}{i\cdot (i+1)}=\frac{n(n+1)(n+2}{3}$

Contoh 1:
$\sum_{i=1}^{5}{3}=5 \cdot 3$

Contoh 2.
$\sum_{i=1}^{2017}{i}=1 + 2 + 3 + 4 + ... + 2016 + 2017$
$\sum_{i=1}^{2017}{i}=\frac{2017(1+2017)}{2}=\frac{2017(2018)}{2}=2017\times 509=1.026.653$

Contoh 3.
$\sum_{i=1}^{5}{3i}=3 \cdot \sum_{i=1}^{5}{k}$
$\sum_{i=1}^{5}{3i}=3 \cdot (1+2+3+4+5)$
$\sum_{i=1}^{5}{3i}=3 \cdot \frac{5(1+5)}{2}$
$\sum_{i=1}^{5}{3i}=3 \cdot 15$
$\sum_{i=1}^{5}{3i}= 45$

Contoh 4.
$\sum_{i=1}^{5}{i^2}=\frac{5(2(5)+1)((5)+1)}{6}$
$\sum_{i=1}^{5}{i^2}=\frac{5\times 11 \times 6}{6}$
$\sum_{i=1}^{5}{i^2}=55$

Contoh 5.

$\sum_{i=1}^{5}{3i+2}=\sum_{i=1}^{5} 3i + \sum_{i=1}^{5} 2$
$\sum_{i=1}^{5}{3i+2}=3\times \frac{5\times 6}{2} + 5\times 2$
$\sum_{i=1}^{5}{3i+2}=45 + 10$
$\sum_{i=1}^{5}{3i+2}=65$

Memfaktorkan dan Menguraikan

Salah satu strategi penyelesaian masalah yang sering digunakan pada materi aljabar yaitu dengan memfaktorkan atau menguraikan permasalahan itu sehingga dapat menjadi lebih sederhana. Beberapa bentuk pemfaktoran dan penguraian yang seringkali digunakan yaitu
1.  $(x+y)^{2}=x^2+2xy+y^2$
2.  $(x-y)^{2}=x^2-2xy+y^2$
3.  $(x^2-y^{2})=(x-y)(x+y)$
4.  $(x+y+z)^{2}=x^2+y^2+z^2 +2(xy+xz+yz)$
5.  $x^3+y^3 = (x+1)(x^2 -xy +y^2)$
6.  Merasionalkan bentuk akar
     a) $\frac{a}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}=\frac{a}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}\cdot \frac{\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}.$
     b) $\frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\cdot \frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}.$
     c) $\frac{a}{b\sqrt{c}}=\frac{a}{b\sqrt{c}}\cdot \frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c}}=\frac{a\sqrt{c}}{c}.$


Tentu saja bentuk-bentuk tersebut hanya beberapa saja dan masih ada bentuk lainnya dan digunakan tergantung dengan permasalahannya.

Contoh 1. (OSK 2004 SMP/MTS)
Nilai dari $\sqrt{5050^2-4950^2}=....$
Penyelesaian:
$\sqrt{5050^2-4950^2}=\sqrt{(5050-4950)(5050+4950)}$
$\sqrt{5050^2-4950^2}=\sqrt{(100)(10000)}$
$\sqrt{5050^2-4950^2}=\sqrt{(1000000)}$
$\sqrt{5050^2-4950^2}=1000$

Contoh 2. (OSK 2015 SMP/MTS)
Nilai dari $\frac{\sqrt{3^{2015}}}{\sqrt{3^{2015}} - \sqrt{3^{2013}}}= ...$
Penyelesaian:
$\frac{\sqrt{3^{2015}}}{\sqrt{3^{2015}} - \sqrt{3^{2013}}}=\frac{\sqrt{3^{2015}}}{\sqrt{3^{2015}} - \sqrt{3^{2013}}}\cdot \frac{\sqrt{3^{2015}} + \sqrt{3^{2013}}}{\sqrt{3^{2015}} + \sqrt{3^{2013}}}$

$\frac{\sqrt{3^{2015}}}{\sqrt{3^{2015}} - \sqrt{3^{2013}}}=\frac{3^{2015}+3^{2014}}{3^{2015} - 3^{2013}}$
$\frac{\sqrt{3^{2015}}}{\sqrt{3^{2015}} - \sqrt{3^{2013}}}=\frac{3^{2013}(9+3)}{3^{2013}(9-1)}$
$\frac{\sqrt{3^{2015}}}{\sqrt{3^{2015}} - \sqrt{3^{2013}}}=\frac{12}{8}$
$\frac{\sqrt{3^{2015}}}{\sqrt{3^{2015}} - \sqrt{3^{2013}}}=\frac{3}{2}$

Contoh 3. (OSK 2016 SMP/MTS)
Nilai dari $\frac{2017\times (2016^2 -16)\times 2015}{2020 \times (2016^2 -1)}= ...$
Penyelesaian:
$\frac{2017\times (2016^2 -16)\times 2015}{2020 \times (2016^2 -1)}=\frac{2017\times (2016-4)(2016+4)\times 2015}{2020 \times (2016-1)(2016+1}$
$\frac{2017\times (2016^2 -16)\times 2015}{2020 \times (2016^2 -1)}=\frac{2017\times 2012 \times 2020 \times 2015}{2020 \times 2015 \times 2017}$
$\frac{2017\times (2016^2 -16)\times 2015}{2020 \times (2016^2 -1)}=2012$

Contoh 4. (OSK SMA 2013)
Misalkan $a$ dan $b$ adalah bilangan asli dengan $a>b$. Jika $\sqrt{94+2\sqrt{2013}}=\sqrt{a}+ \sqrt{b}$ maka nilai $a-b$ adalah ....
Penyelesaian:
$\sqrt{94+2\sqrt{2013}}=\sqrt{61 + 33 + 2\sqrt{61\times 33}}$
$\sqrt{94+2\sqrt{2013}}=\sqrt{(\sqrt{61})^2+ 2\sqrt{61\times 33} + (\sqrt{33})^2}$
$\sqrt{94+2\sqrt{2013}}=\sqrt{(\sqrt{61}+\sqrt{33})^2}$
$\sqrt{94+2\sqrt{2013}}=\sqrt{61}+\sqrt{33}$
Jadi, $a=61$ dan $b=33$ sehingga diperoleh $a-b=61-33=28$

Latihan Soal dan Pembahasan Logaritma

Soal 1.
Diketahui ${^3 \log {x}}=4$, maka nilai dari $x=....$
Jawab:
${^2 \log {x}}=-3 \leftrightarrow x=2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$

Soal 2.
Diketahui ${^3 \log {x}}=4$, maka nilai dari $x=....$
Jawab:
${^3 \log {x}}=4 \leftrightarrow x=3^4$

Soal 3.
Nilai dari ${^2 \log 8 }= ....$
Jawab:
 ${^2 \log 8} = {^2 \log {2^3}}=3 \cdot ^2 \log {2}$

Soal 4.
Hasil dari ${^3 \log {63}}- {^3 \log {7}} + {^6 log {36}}= ....$
Jawab:
${^3 \log {63}}- {^3 \log {7}} + {^6 log {36}} ={^3 \log {\frac{ 63}{7}}} + {^6 log {6^2}}$
${^3 \log {63}}- {^3 \log {7}} + {^6 log {36}} ={^3 \log {9}} + {^6 log {6^2}}$
${^3 \log {63}}- {^3 \log {7}} + {^6 log {36}} ={^3 \log {3^2}} + {^6 log {6^2}}$
${^3 \log {63}}- {^3 \log {7}} + {^6 log {36}} ={2\cdot ^3 \log {3^2}} + {2\cdot ^6 log {6^2}}$
${^3 \log {63}}- {^3 \log {7}} + {^6 log {36}} =2+ 2=4$

Soal 5.
Jika nilai dari $^2 \log {3}=a$ maka nilai dari $^3 log {2}= ....$
Jawab:
$^3 log {2}= \frac {1}{^2\log{3}}=\frac {1}{a}$

Soal 6.
Jika nilai dari $^4 \log {3}=a$ maka nilai dari $^2 log {3}= ....$
Jawab:
$^4 \log {3}=a$
$^{2^2} \log {3}=a$
$\frac{1}{2}{^{2} \log {3}}=a$

Soal 7.
Jika nilai dari $^25 \log {3}=m$ maka nilai dari $^27 log {5}= ....$
Jawab:
$^25 \log {3}=m$
$^{5^2} \log {3}=m$
$\frac{1}{2}{^{5} \log {3}}=m$ $^5 \log {3}=2m$
$^27 log {5}= ^{3^3}\log {5}=\frac{1}{3} \cdot {^3 \log {5}}=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{^5 \log {3}}=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2m}=\frac{1}{6m}$

Soal 8.
Diketahui $^5 \log 3 = a$ dan $^3 \log 4 = b$, maka nilai $^4 \log {15} = ....$
a.  $\frac{1+a}{ab}$
b.  $\frac{1+a}{1+b}$
c.  $\frac{1+b}{1-a}$
d.  $\frac{ab}{1-a}$
e.  $\frac{ab}{1-b}$
Jawab: A.
$^4 \log {15} =\frac{^3 log {15}}{^3 \log {4}}$
$^4 \log {15} =\frac{^3 log {5\times 3}}{^3 \log {4}}$
$^4 \log {15} =\frac{^3 \log {5} +^3 log {3}}{^3 \log {4}}$
$^4 \log {15} =\frac{\frac{1}{a} +1}{b}$
$^4 \log {15} =\frac{\frac{1}{a} +1}{b}\times \frac{a}{a}$
$^4 \log {15} =\frac{1+a}{ab}$.

Soal 9.
Diketahui $^2 \log 3 = x$ dan $^2 \log 10 = y$, maka nilai $^6 \log {120} = ....$
a.  $\frac{x}{xy+2}$
b.  $\frac{xy+2}{x}$
c.  $\frac{2xy}{x+1}$
d.  $\frac{x+y+2}{x+1}$
e.  $\frac{x+1}{x+y+2}$
Jawab: D.
$^6 \log {120} =\frac{^2 log {120}}{^2 \log {6}}$
$^6 \log {120} =\frac{^2 log {12\times 10}}{^2 \log {3\times 2}}$
$^6 \log {120} =\frac{^2 \log {12} +^2 log {10}}{^2 \log {3}+{^2 \log {2}}}$
$^6 \log {120} =\frac{^2 \log {3 \times 4} +^2 log {10}}{^2 \log {3}+{^2 \log {2}}}$
$^6 \log {120} =\frac{^2 \log {3}+ ^2 \log {4}+^2 log {10}}{^2 \log {3}+{^2 \log {2}}}$
$^6 \log {120} =\frac{^2 \log {3}+ ^2 \log {2^2}+^2 log {10}}{^2 \log {3}+{^2 \log {2}}}$
$^6 \log {120} =\frac{^2 \log {3}+2\cdot ^2 \log {2}+^2 log {10}}{^2 \log {3}+{^2 \log {2}}}$
$^6 \log {120} =\frac{x+2+y}{x+1}=\frac{x+y+2}{x+1}$

Soal 10.
Diketahui $^3 \log 6 = p$ dan $^3 \log 2 = q$, maka nilai $^{24} \log 288 = ....$
a.  $\frac{2p+3q}{p+2q}$
b.  $\frac{3p+2q}{p+2q}$
c.  $\frac{p+2q}{2p+3q}$
d.  $\frac{p+2q}{3p+2q}$
e.  $\frac{2p+q}{2p+3q}$
Jawab: A.
$^24 \log {288} =\frac{^3 log {288}}{^3 \log {24}}$
$^24 \log {288} =\frac{^3 log {36\times 8}}{^3 \log {6 \times 4}}$
$^24 \log {288} =\frac{^3 log {36} +^3 log {8}}{^3 \log {6}+^3 log {4}}$
$^24 \log {288} =\frac{^3 log {6^2} +^3 log {2^3}}{^3 \log {6}+^3 log {2^2}}$
$^24 \log {288} =\frac{2\cdot ^3 log {6} +3\cdot ^3 log {2}}{^3 \log {6}+2\cdot ^3 log {2}}$
$^24 \log {288} =\frac{2p +3q}{p+2q}$

Soal 11.
Diketahui $^7 \log 2 = a$ dan $^2 \log 3 = b$, maka nilai $^{6} \log 14= ....$
a.  $\frac{a}{a+b}$
b.  $\frac{a+1}{b+1}$
c.  $\frac{a+1}{a(b+1)}$
d.  $\frac{b+1}{a+1}$
e.  $\frac{b+1}{b(a+1)}$
Jawab: C.
$^6 \log {14} =\frac{^2 log {14}}{^2 \log {6}}$
$^6 \log {14} =\frac{^2 log {7\times 2}}{^2 \log {3\times 2}}$
$^6 \log {14} =\frac{^2 log {7}+^2 log {2}}{^2 \log {3}+^2 \log {2}}$
$^6 \log {14} =\frac{\frac{1}{a}+1}{b+1}$
$^6 \log {14} =\frac{\frac{1}{a}+1}{b+1}\times \frac{a}{a}$
$^6 \log {14} =\frac{1+a}{a(b+1)}$

Baca juga artikel berikut:
Sifat-Sifat Logaritma dan Pembuktiannya
Soal dan Pembahasan Logaritma: Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri

Jawaban Soal Bab I - Modul Belajar Bimbel Gratis Kota Palembang

Soal 11.
Jika ${^{27} \log {5}}=p$,  ${^{25} \log {3}}+{^{243} \log {\sqrt{5}}}=....$
Jawab: B.
${^{27} \log {5}}=p$
$\leftrightarrow {^{3^3} \log {5}}=p$
$\leftrightarrow \frac{1}{3}\cdot{^{3} \log {5}}=p$
$\leftrightarrow {^{3} \log {5}}=3p$ .........(pers. 1)
$\leftrightarrow {^{5} \log {3}}=\frac{1}{3p}$ .........(pers. 2)

${^{25} \log {3}}+{^{243} \log {\sqrt{5}}}={^{5^2} \log {3}}+{^{3^5} \log {5^{\frac{1}{2}}}}$
$\leftrightarrow {^{25} \log {3}}+{^{243} \log {\sqrt{5}}}=\frac{1}{2}\cdot{^{5} \log {3}}+\frac{\frac{1}{2}}{5} \cdot {^{3^5} \log {5^{\frac{1}{2}}}}$
$\leftrightarrow {^{25} \log {3}}+{^{243} \log {\sqrt{5}}}=\frac{1}{2}\cdot{^{5} \log {3}}+\frac{1}{10} \cdot {^{3} \log {5}}$
$\leftrightarrow {^{25} \log {3}}+{^{243} \log {\sqrt{5}}}=\frac{1}{2}\cdot{^{5} \log {3}}+\frac{1}{10} \cdot {^{3} \log {5}}$
$\leftrightarrow {^{25} \log {3}}+{^{243} \log {\sqrt{5}}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3p}+\frac{1}{10} \cdot 3p$, (substitusikan pers. 1 dan pers. 2)
$\leftrightarrow {^{25} \log {3}}+{^{243} \log {\sqrt{5}}}=\frac{1}{6p}+\frac{3p}{10}$

Soal 12.
Nilai dari $\frac{{^{3} \log {\frac{1}{9}}}+{^{\sqrt{2}} \log {9}}\cdot {^{3} \log {16}}}{{^{2} \log {10}}-{^{2} \log {5}}}$
Jawab: D
$\frac{{^{3} \log {\frac{1}{9}}}+{^{\sqrt{2}} \log {9}}\cdot {^{3} \log {16}}}{{^{2} \log {10}}-{^{2} \log {5}}}=\frac{{^{3} \log {3^{-2}}}+{^{2^{1/2}} \log {3^{2}}}\cdot {^{3} \log {2^4}}}{^{2} \log {\frac{10}{5}}}$
$\leftrightarrow \frac{{^{3} \log {\frac{1}{9}}}+{^{\sqrt{2}} \log {9}}\cdot {^{3} \log {16}}}{{^{2} \log {10}}-{^{2} \log {5}}}=\frac{{-2}\cdot {^{3} \log {3}}+\frac{2}{\frac{1}{2}} \cdot {^{2} \log {3}}\cdot 4 \cdot {^{3} \log {2}}}{^{2} \log {2}}$
$\leftrightarrow \frac{{^{3} \log {\frac{1}{9}}}+{^{\sqrt{2}} \log {9}}\cdot {^{3} \log {16}}}{{^{2} \log {10}}-{^{2} \log {5}}}=\frac{{-2}\cdot 1+4 \cdot {^{2} \log {3}}\cdot 4 \cdot {^{3} \log {2}}}{1}$
$\leftrightarrow \frac{{^{3} \log {\frac{1}{9}}}+{^{\sqrt{2}} \log {9}}\cdot {^{3} \log {16}}}{{^{2} \log {10}}-{^{2} \log {5}}}={-2} + 4 \cdot 4 \cdot {^{2} \log {3}} \cdot {^{3} \log {2}}$
$\leftrightarrow \frac{{^{3} \log {\frac{1}{9}}}+{^{\sqrt{2}} \log {9}}\cdot {^{3} \log {16}}}{{^{2} \log {10}}-{^{2} \log {5}}}={-2} + 16 \cdot {^{2} \log {2}}$
$\leftrightarrow \frac{{^{3} \log {\frac{1}{9}}}+{^{\sqrt{2}} \log {9}}\cdot {^{3} \log {16}}}{{^{2} \log {10}}-{^{2} \log {5}}}={-2} + 4 \cdot 4 \cdot 1$
$\leftrightarrow \frac{{^{3} \log {\frac{1}{9}}}+{^{\sqrt{2}} \log {9}}\cdot {^{3} \log {16}}}{{^{2} \log {10}}-{^{2} \log {5}}}=14.$

Soal 13.
Nilai dari $\frac{{^{3} \log {2}} \cdot {^{4} \log {27}} \cdot {^{3} \log {81}}}{{^{2} \log {8}} - {^{2} \log {4}}}=....$
Jawab: D
$\frac{{^{3} \log {2}} \cdot {^{4} \log {27}} \cdot {^{3} \log {81}}}{{^{2} \log {8}} - {^{2} \log {4}}}=\frac{{^{3} \log {2}} \cdot {^{2^2} \log {3^3}} \cdot {^{3} \log {3^4}}}{{^{2} \log {\frac{8}{4}}}}$
$\leftrightarrow \frac{{^{3} \log {2}} \cdot {^{4} \log {27}} \cdot {^{3} \log {81}}}{{^{2} \log {8}} - {^{2} \log {4}}}=\frac{{^{3} \log {2}} \cdot \frac{3}{2} \cdot {^{2} \log {3}} \cdot 4 \cdot {^{3} \log {3}}}{{^{2} \log {\frac{8}{4}}}}$
$\leftrightarrow \frac{{^{3} \log {2}} \cdot {^{4} \log {27}} \cdot {^{3} \log {81}}}{{^{2} \log {8}} - {^{2} \log {4}}}=\frac{\frac{3}{2} \cdot 4 \cdot {^{3} \log {2}} \cdot  {^{2} \log {3}} \cdot {^{3} \log {3}}}{{^{2} \log {2}}}$
$\leftrightarrow \frac{{^{3} \log {2}} \cdot {^{4} \log {27}} \cdot {^{3} \log {81}}}{{^{2} \log {8}} - {^{2} \log {4}}}=\frac{6 \cdot {^{3} \log {3}} \cdot {1}}{1}$
$\leftrightarrow \frac{{^{3} \log {2}} \cdot {^{4} \log {27}} \cdot {^{3} \log {81}}}{{^{2} \log {8}} - {^{2} \log {4}}}=6 \cdot 1$
$\leftrightarrow \frac{{^{3} \log {2}} \cdot {^{4} \log {27}} \cdot {^{3} \log {81}}}{{^{2} \log {8}} - {^{2} \log {4}}}=6$

Soal 14.
Nilai $x$ yang memenuhi ${^{\frac{1}{3}} \log {(x+ \sqrt {3})}}+{^{\frac{1}{3}} \log {(x- \sqrt {3})}} > 0=....$
Jawab: C
(1) ${^{\frac{1}{3}} \log {(x+ \sqrt {3})}}+{^{\frac{1}{3}} \log {(x- \sqrt {3})}} > 0$
$ \leftrightarrow {^{\frac{1}{3}} \log {(x+ \sqrt {3})(x- \sqrt {3})}} > {^{\frac{1}{3}} \log {1}}$
$ \leftrightarrow (x+ \sqrt {3})(x- \sqrt {3}) < 1$
$ \leftrightarrow x^2 - 3 < 1$
$ \leftrightarrow x^2 - 4 < 0 $
$ \leftrightarrow x^2 - 4 < 0$
$ \leftrightarrow (x+2)(x-2) < 0$
Pembuat nol:
$x=-2$ atau $x=2$
Garis Bilangan:

$-2<x<2$

Syarat:
(2) $x+ \sqrt {3}>0 \leftrightarrow x>-\sqrt{3}$
(3) $x- \sqrt {3}>0 \leftrightarrow x>\sqrt{3}$

Irisan dari ketiga solusi tersebut yaitu:

Jadi, himpunan penyelesaiannya yaitu $\sqrt{3}<x<2$ (memenuhi ketiga arsiran).

Soal 15.
Nilai dari $\frac{{^{\sqrt {3}} \log {100}} \cdot {\log {9}} - {^5 \log {625}}}{{^2 \log {12}} - {^2 \log {3}}}=....$
Jawab: B
$\frac{{^{\sqrt {3}} \log {100}} \cdot {\log {9}} - {^5 \log {625}}}{{^2 \log {12}} - {^2 \log {3}}}=\frac{{^{3^{\frac{1}{2}}} \log {10^2}} \cdot {\log {3^2}} - {^5 \log {5^4}}}{^2 \log {\frac{12}{3}}}$
$\leftrightarrow \frac{{^{\sqrt {3}} \log {100}} \cdot {\log {9}} - {^5 \log {625}}}{{^2 \log {12}} - {^2 \log {3}}}=\frac{\frac{2}{\frac{1}{2}} \cdot {^{3} \log {10}} \cdot 2 \cdot {\log {3}} - 4 \cdot {^5 \log {5}}}{^2 \log {4}}$
$\leftrightarrow \frac{{^{\sqrt {3}} \log {100}} \cdot {\log {9}} - {^5 \log {625}}}{{^2 \log {12}} - {^2 \log {3}}}=\frac{4 \cdot 2 \cdot {^{3} \log {10}} \cdot {\log {3}} - 4 \cdot 1}{^2 \log {2^2}}$
$\leftrightarrow \frac{{^{\sqrt {3}} \log {100}} \cdot {\log {9}} - {^5 \log {625}}}{{^2 \log {12}} - {^2 \log {3}}}=\frac{8 \cdot {^{3} \log {3}} - 4}{2 \cdot {^2 \log {2}}}$, ingat bahwa ${\log {3}}$ memiliki basis 10 atau sama saja seperti ${^{10}\log {3}}$
$\leftrightarrow \frac{{^{\sqrt {3}} \log {100}} \cdot {\log {9}} - {^5 \log {625}}}{{^2 \log {12}} - {^2 \log {3}}}=\frac{8 \cdot 1 - 4}{2 \cdot 1}$
$\leftrightarrow \frac{{^{\sqrt {3}} \log {100}} \cdot {\log {9}} - {^5 \log {625}}}{{^2 \log {12}} - {^2 \log {3}}}=\frac{4}{2}$
$\leftrightarrow \frac{{^{\sqrt {3}} \log {100}} \cdot {\log {9}} - {^5 \log {625}}}{{^2 \log {12}} - {^2 \log {3}}}=2$

Sifat-Sifat Logaritma dan Pembuktiannya

Logaritma merupakan invers (kebalikan) dari eksponen.
Jika $a^b=c$, maka dapat juga dinyatakan dengan $b=^{a}\log{c}$

Sifat 1. $^{a}\log{1}=0$
Bukti.
Kita tahu bahwa $a^0=1$, jika diubah menjadi logaritma maka diperoleh $^a\log{1}=0$. (Terbukti)

Sifat 2. $^{a}\log{a}=1$
Bukti.
Kita tahu bahwa $a^1=a$, jika diubah menjadi logaritma maka diperoleh $^a\log{a}=1$. (Terbukti).

Sifat 3. $^{a}\log{b}+^a\log{c}=^a\log{bc}$
Bukti.
Misalkan:
$^{a}\log{b}=x \leftrightarrow a^x=b$
$^{a}\log{c}=y \leftrightarrow a^y=c$
Dengan sifat eksponen, diperoleh:
$a^{x}\cdot a^{y}=a^{x+y}$
$\leftrightarrow x+y=^a\log{(a^{x}\cdot a^{y})}$ (setelah diubah ke bentuk logaritma)
$\leftrightarrow ^{a}\log{b}+^{a}\log{c}=^a\log{bc}$ (dikembalikan ke bentuk pemisalan)
(Terbukti).

Sifat 4. $^{a}\log{b}-^a\log{c}=^a\log{\frac{b}{c}}$
Bukti.
Misalkan:
$^{a}\log{b}=x \leftrightarrow a^x=b$
$^{a}\log{c}=y \leftrightarrow a^y=c$
Dengan sifat eksponen, diperoleh:
$\frac{a^{x}}{a^{y}}=a^{x-y}$
$\leftrightarrow x-y=^a\log{(\frac{a^{x}}{a^{y}})}$ (setelah diubah ke bentuk logaritma)
$\leftrightarrow ^{a}\log{b}-^{a}\log{c}=^a\log{\frac{b}{c}}$ (dikembalikan ke bentuk pemisalan)
(Terbukti).

Sifat 5. $^{a}\log{b^m}=m\cdot ^{a}\log{b}$
Bukti.
$^{a}\log{b^m}=^{a}\log({\underbrace{b\cdot b\cdot b\cdot ... \cdot b}_{m-times}})$
$^{a}\log{b^m}=\underbrace{^{a}\log{b} + ^{a}\log{b}+^{a}\log{b} ... + ^{a}\log{b}}_{m-times}$ (diperoleh dengan menggunakan sifat 3.
$^{a}\log{b^m}=m\cdot ^{a}\log{b}$ (diperoleh dengan menggunakan definisi perkalian sebagai penjumlahan berulang). (Terbukti).

Sifat 6. $^{a^n}\log{b^m}=\frac{m}{n} \cdot ^{a}\log{b}$
Bukti.
Misalkan,
$^{a^n}\log{b^m}=x$, maka
$b^m=(a^n)^x$
$b^m=a^xn$
$(b^m)^{\frac{1}{n}}=(a^xn)^{\frac{1}{n}}$
$b^{\frac{m}{n}}=a^x$
$x=^a \log{b^{\frac{m}{n}}}$
$x=\frac{m}{n} \cdot ^{a}\log{b}$
Jadi, $^{a^n}\log{b^m}=\frac{m}{n} \cdot ^{a}\log{b}$

(Terbukti).

Sifat 7. $^{a}\log{b}=\frac{1}{^b \log{a}}$
Bukti.
Misalkan:
$^{a}\log{b}=x \leftrightarrow a^x=b \leftrightarrow (a^x)^{\frac{1}{x}}=b^{\frac{1}{x}} \leftrightarrow a=b^{\frac{1}{x}}$
$a=b^{\frac{1}{x}} \leftrightarrow \frac{1}{x}=^b \log{a} \leftrightarrow x=\frac{1}{^b \log{a}}$
sehingga diperoleh $^{a}\log{b}=\frac{1}{^b \log{a}}$
(Terbukti).

Sifat 8. $^{a}\log{b}=\frac{^m \log{b}}{^m \log{a}}$
Bukti.
$^{a}\log{b}=x$, maka
$a^x=b$
$^m \log{a^x}=^m \log{b}$
$x\cdot ^m \log{a}= ^m \log{b}$
$x=\frac{^m \log{b}}{^m \log{a}}$
$^{a}\log{b}=\frac{^m \log{b}}{^m \log{a}}$
(Terbukti).

Sifat 9. $a^{^{a}\log{b}}=b$
Bukti.
Misalkan:
$^{a}\log{b}=x$ maka $a^x=b$
$a^{^{a}\log{b}}=a^x=b$
(Terbukti).

Baca juga artikel berikut:
Latihan Soal dan Pembahasan Logaritma
Soal dan Pembahasan Logaritma: Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri

Soal dan Pembahasan Eksponen

Soal 1
Nilai dari $16^{0,25}\times (0,5)^{-0,5}$ adalah ....
      a.    $0$

      b.    $\sqrt{2}$

      c.    $2\sqrt{2}$

      d.    $-\sqrt{2}$

      e.    $-2\sqrt{2}$

Jawab: C
$16^{0,25}\times (0,5)^{-0,5}=(2^4)^{\frac{1}{4}}\times \left ( \frac{1}{2} \right )^{-\frac{1}{2}}=2\times (2)^{\frac{1}{2}}==2\times (2)^{\frac{1}{2}}=2\sqrt{2}.$

Soal 2

Nilai dari $\frac{(125)^{\frac{2}{3}}-(25)^{\frac{1}{2}}}{(81)^{\frac{1}{4}}+(27)^{\frac{1}{3}}}$ adalah ....

      a.    $\frac{8}{3}$

      b.    $\frac{10}{3}$

      c.    $\frac{14}{3}$

      d.    $\frac{16}{3}$

      e.    $\frac{20}{3}$

Jawab: B
$\frac{(125)^{\frac{2}{3}}-(25)^{\frac{1}{2}}}{(81)^{\frac{1}{4}}+(27)^{\frac{1}{3}}}=\frac{(5^3)^{\frac{2}{3}}-(5^2)^{\frac{1}{2}}}{(3^4)^{\frac{1}{4}}+(3^3)^{\frac{1}{3}}}=\frac{(125)^{\frac{2}{3}}-(25)^{\frac{1}{2}}}{(81)^{\frac{1}{4}}+(27)^{\frac{1}{3}}}=\frac{5^2-5}{3+3}=\frac{25-5}{3+3}=\frac{20}{6}=\frac{10}{3}.$

Soal 3
Bentuk sederhana dari $\left ( \frac{4x^{\frac{5}{2}}y^{\frac{-7}{3}}z^{\frac{-3}{4}}}{2x^{\frac{-3}{2}}y^{\frac{2}{3}}z^{\frac{5}{4}}} \right )^2$

      a.    $\frac{2x^4}{y^{3}z^{2}}$

      b.    $\frac{2x^{4}y}{z^2}$

      c.    $\frac{4x^{8}y^3}{z^2}$

      d.    $\frac{4x^{4}}{y^{3}z^{2}}$

      e.    $\frac{4x^{8}}{y^{6}z^{4}}$

Jawab: E
$\left ( \frac{4x^{\frac{5}{2}}y^{\frac{-7}{3}}z^{\frac{-3}{4}}}{2x^{\frac{-3}{2}}y^{\frac{2}{3}}z^{\frac{5}{4}}} \right )^2=\left ( 2x^{\frac{5}{2}-(\frac{-3}{2})} y^{\frac{-7}{3}-\frac{2}{3}} z^{\frac{-3}{4}-\frac{5}{4}} \right )^2=\left ( 2x^{\frac{8}{2}} y^{\frac{-9}{3}} z^{\frac{-8}{4}} \right )^2=\left ( 2x^{4} y^{-3} z^{-2} \right )^2=2^{2}x^{8} y^{-6} z^{-4}=\frac{4x^8}{y^{6} z^4}$

Soal 4
Bentuk sederhana dari $\left ( \frac{a^{3}b^{-2}c}{ab^{-4}c^{2}} \right )^{-1}$

      a.    $a^2b^3c$

      b.    $a^2b^2c$

      c.    $\frac{b^2c^2}{a^2}$

      d.    $\frac{b}{a^{2}c}$

      e.    $\frac{c}{a^{2}b^{2}}$

Jawab: E
$\left ( \frac{a^{3}b^{-2}c}{ab^{-4}c^{2}} \right )^{-1}=\frac{ab^{-4}c^{2}}{a^{3}b^{-2}c}=\frac{c^{2-1}}{a^{3-1}b^{-2+4}}=\frac{c}{a^{2}b^{2}}$

Soal 5
Bentuk sederhana dari $\frac{16a^{9}b^{2}c^{4}}{8a^{2}b^{6}c^{5}}$

      a.    $2(ac)^3$

      b.    $\frac{2b^{4}c}{a^7}$

      c.    $\frac{2a^4}{b^{7}c}$

      d.    $\frac{2a^7}{b^{4}c}$

      e.    $\frac{2a^{7}c}{b^{4}}$

Jawab: D
$\frac{16a^{9}b^{2}c^{4}}{8a^{2}b^{6}c^{5}}=\frac{2a^{9-2}}{b^{6-2}c^{5-4}}=\frac{2a^{7}}{b^{4}c}$

Soal 6
Bentuk sederhana dari $\left ( \frac{4p^{\frac{-1}{2}}q^{\frac{1}{2}}}{16p^{\frac{3}{2}}q^{\frac{-5}{2}}} \right )^{-1}$

      a.    $p^2q^3$

      b.    $\frac{4p^{2}}{q^{3}}$

      c.    $\frac{q^{3}}{4p^{2}}$

      d.    $\frac{4q^{3}}{p^{2}}$

      e.    $\frac{p^{2}}{4q^{3}}$

Jawab: B
$\left ( \frac{4p^{\frac{-1}{2}}q^{\frac{1}{2}}}{16p^{\frac{3}{2}}q^{\frac{-5}{2}}} \right )^{-1}=\frac{16p^{\frac{3}{2}}q^{\frac{-5}{2}}}{4p^{\frac{-1}{2}}q^{\frac{1}{2}}}=\frac{4p^{\frac{3}{2}+\frac{1}{2}}}{q^{\frac{1}{2}+\frac{5}{2}}}=\frac{4p^{\frac{4}{2}}}{q^{\frac{6}{2}}}=\frac{4p^{2}}{q^{3}}$

Soal 7
Bentuk sederhana dari $\left ( \frac{a^{-3} b^{-3}}{2a^2b^{-1}} \right )^{2}$

      a.    $\frac{1}{4a^{10}b^{4}}$

      b.    $\frac{1}{2a^{5}b^{10}}$

      c.    $\frac{b^2}{4a^{10}}$

      d.    $4a^{10}b^{4}$

      e.    $2a^{10}b^{2}$

Jawab: B
$\left ( \frac{a^{-3} b^{-3}}{2a^2b^{-1}} \right )^{2}=\left ( \frac{1}{2a^{2+3}b^{-1+3}} \right )^{2}=\left ( \frac{1}{2a^{5}b^{2}} \right )^{2}=\left ( \frac{1}{4a^{10}b^{4}} \right )$

Pembuktian Sifat-Sifat Eksponen

Bentuk umum:

$a^n$

dengan a sebagai bilangan pokok atau basis, dan b sebagai pangkat.
Definisi:

$a^n=\underbrace{a\times a \times a\times ... \times a}_{n\ kali}$

Contoh 1.
$2^4=2\times 2\times 2\times 2=16$


Contoh 2.
$\left ( -3 \right )^{3}=\left ( -3 \right )\times \left ( -3 \right )\times \left ( -3 \right )=-27$

Sifat-Sifat Eksponen

Sifat 1.

$a^m\times a^n=a^{m+n}$ 

Bukti:

$a^m\times a^n=(\underbrace{a\times a \times a\times ... \times a}_{m\ kali}) \times (\underbrace{a\times a \times a\times ... \times a}_{n\ kali})$

$\leftrightarrow a^m\times a^n=\underbrace{a\times a \times a\times ... \times a}_{m+n\ kali}$

$\leftrightarrow a^m\times a^n=a^{m+n}$

Contoh 3.

$2^3 \times 2^5 = 2^{3+5}=2^8$

Contoh 4.

$p^4 \times p^6 = p^{4+6}=p^{10}$

Sifat 2.

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

Bukti:

$\frac{a^m}{a^n}=\frac{( \underbrace{a\times a \times a\times ... \times a}_{m\ kali})}{( \underbrace{a\times a \times a\times ... \times a}_{n\ kali})}$

$\leftrightarrow \frac{a^m}{a^n}=\underbrace{a\times a \times a\times ... \times a}_{m-n\ kali}$

Contoh 5.

$\frac{3^7}{3^2}=3^{7-2}=3^5$

Contoh 6.

$\frac{q^10}{q^7}=q^{10-7}=q^3$

Sifat 3. (Implikasi Sifat 2)

$a^0=1$

Bukti:

$a^0=a^{m-m}$

$\leftrightarrow a^0=\frac{a^m}{a^m}$________________ (dari sifat 2)

$\leftrightarrow a^0=\frac{( \underbrace{a\times a \times a\times ... \times a}_{m\ kali})}{( \underbrace{a\times a \times a\times ... \times a}_{m\ kali})}$

$\leftrightarrow a^0=1$

Contoh 7.

$3^0=1$

Contoh 8.

$r^0=1$

Sifat 4. (Implikasi Sifat 2)

$a^{-m}=\frac{1}{m}$

Bukti:

$a^{-m}=a^{0-m}$

$\leftrightarrow a^{-m}=\frac{a^0}{a^m}$________________ (dari sifat 2)

$\leftrightarrow a^{-m}=\frac{1}{a^m}$

Contoh 9.

$5^{-1}=\frac{1}{5}$

Contoh 10.

$2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$

Cek juga soal dan pembahasannya pada Soal dan Pembahasan Eksponen

Sifat 5.

$\left ( a^{m} \right )^{n}=a^{mn}$

Bukti:

$(a^m)^n=\underbrace{a \times a \times ... \times a}_{mn\ kali}$
$\left ( a^{m} \right )^{n}=a^{mn}$

Contoh 11.

$(2^5)^{4}=2^{20}$

Contoh 12.
$27^5=(3^3)^5=3^{15}$

Sifat 6. $\left ( ab \right )^{m}=a^{m}\times b^{m}$

Bukti: $(ab)^m=\underbrace{(ab)\times (ab) \times ... \times (ab)}_{m\ kali}$ $(ab)^m=\underbrace{a \times a \times ... \times a}_{m\ kali} \times \underbrace{b \times b \times ... \times b}_{m\ kali}$
$(ab)^m=a^m \times b^m$

Contoh 13.

$(2mn)^{4}=2^4 m^4 n^4$

Contoh 14.
$(3a^3 b^2)^3=3^3 (a^3)^3 (b^2)^3=27a^9 b^6$

Sifat 7.

$\left ( {\frac{a}{b}} \right )^{m}=\frac{a^{m}}{ b^{m}}$

Bukti:
$\left ( {\frac{a}{b}} \right )^{m}= \underbrace{\frac{a}{b} \times \frac{a}{b} \times ... \times \frac{a}{b}}_{m\ kali}$
$\left ( {\frac{a}{b}} \right )^{m}= \frac{\underbrace{a \times a \times ... \times a}_{m\ kali}}{\underbrace{b \times b \times ... \times b}_{m\ kali}}$
$\left ( {\frac{a}{b}} \right )^{m}=\frac{a^{m}}{ b^{m}}$

Contoh 15.

$\left ( {\frac{p}{q}} \right )^{3}=\frac{p^{3}}{ q^{3}}$

Contoh 16.
$\left ( {\frac{m}{2n}} \right )^{5}=\frac{m^{5}}{2^{5} n^5}\frac{m^{5}}{32 n^5}$

Cek juga soal dan pembahasannya pada Soal dan Pembahasan Eksponen
Kumpulan Soal Persiapan Masuk Perguruan Tinggi Negeri:
Persamaan Kuadrat
Logaritma
Polinomial
Trigonometri
Lingkaran
Vektor

Fungsi

Definisi:

Pada dua himpunan tak kosong, $A$ dan $B$, $f$ merupakan fungsi dari A ke B atau dapat dikatakan juga $f$ memetakan $A$ ke $B$ ($f: A \rightarrow B$) jika $f$ memasangkan setiap anggota himpunan $A$ dengan tepat satu anggota himpunan $B$.

Himpunan $A$ kemudian dapat disebut sebagai daerah asal atau domain sedangkan himpunan B disebut daerah kawan atau kodomain. Pada himpunan B juga terdapat subhimpunan yang merupakan himpunan semua hasil pemetaan dari $A$ atau dapat dikatakan sebagai himpunan yang anggotanya adalah anggota $B$ yang memiliki pasangan dari A. Subhimpunan tersebut disebut dengan daerah hasil atau range, dan seringkali dilambangkan dengan $R$.

Fungsi seringkali dituliskan menggunakan rumus fungsi $y=f(x)$. Pada rumus fungsi tersebut, $x$ merupakan variabel bebas yang merupakan sebarang anggota domain, sedangkan $y$ merupakan variabel terikat yang merupakan anggota range dengan aturan $y=f(x)$

Cara Menyatakan Fungsi

Fungsi yang memetakan himpunan A ke himpunan B ($f: A \rightarrow B$) dapat dinyatakan dengan 3 cara.

Cara 1: Diagram Panah

Pada diagram panah, setiap anggota domain dihubungkan menggunakan panah sesuai aturan fungsi $f$ ke range. Perhatikan ilustrasi berikut.

Contoh 1.

Pada gambar tersebut $f$ merupakan fungsi karena setiap himpunan $A$ memiliki tepat satu pasangan di himpunan B. Himpunan $A=\{1, 2, 3, 4, 5\}$ merupakan domain dari $f$, himpunan $B=\{a, b, c, d, e, f, g, h\}$ merupakan kodomainnya, dan himpunan $R=\{a, b, c, d, e\}$ merupakan range.

Bilangan Asli

Di sekolah, kita belajar berbagai jenis bilangan. Seperti,

• Bilangan cacah 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....;
• Bilangan asli 1, 2, 3, 4, 5, ....;
• Bilangan positif $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$, $1$, $\frac{3}{2}$, $\sqrt{5}$, $\pi$, ....;
• Bilangan negatif; bilangan rasional; bilangan irasional; bilangan real; dan lain-lain.

Nah, kali ini kita akan memahami lebih dalam mengenai bilangan asli (a.k.a. bilangan natural).

Tulisan kali ini terinspirasi dari salah satu buku tulisan dari Pak Wono Setya Budhi, salah satu dosen di ITB, yang berjudul Teori Bilangan untuk SMA.

Dalam buku tersebut, dijelaskan bahwa terdapat aksioma yang menyebutkan sifat-sifat bilangan asli. Aksioma tersebut adalah aksioma Peano. Peano menyatakan bahwa bilangan asli ($\mathbb{N}$, re: natural numbers) memiliki properti sebagai berikut.

(i)   Bilangan natural memiliki bilangan istimewa yang kita kenal dengan "1" atau "satu"

(ii)  Untuk setiap bilangan natural $n$ ($n \in \mathbb{N}$) terdapat $n^{*}$ sebagai pengikut dari $n$
(iii) Untuk setiap bilangan natural $n$ ($n \in \mathbb{N}$) maka $n^{*} \neq n$
(iv) Jika $m, n \in \mathbb{N}$ adalah elemen bilangan natural dan $m^{*}=n^{*}$
(v)  Untuk setiap $K \subset \mathbb{N}$, dimana
       (a) $1\in K$
       (b) Jika $k \in K$, maka $k^{*} \in K$
       maka $K=\mathbb{N}$
Continued...

Aturan Perkalian

1.    There are five different teacups and three different tea saucers in the” tea party” store. How many ways are there to buy a cup and a saucers?

Ada 5 cangkir teh berbeda dan tiga tatakan berbeda di toko “tea party”. Ada berapa banyak cara untuk membeli sepasang cangkir dan tatakan teh?

Answer:
$5\times3=\ 15\ ways$

Jawaban:
$5\times3=\ 15\ cara$

2.     There are also four different teaspoons in the “tea party” store. How many ways are there to buy a set consisting of a cup, a saucer, and a spoon??

Di toko “Tea Party” tersebut juga terdapat 4 sendok teh berbeda. Ada berapa banyak cara untuk membeli satu set yang terdiri dari satu cangkir, satu tatakan, dan satu sendok teh?

Answer:
$5\times3\times4 =\ 60\ ways$

Jawaban:
$5\times3\times4=\ 60\ cara$

3.    There are three towns A, B, C, in Wonderland. Six roads go from A to B, and four roads go from B to C. In how many ways can one drive from A to C?

Di Wonderland terdapat tiga kota yaitu kota A, B, dan C. Ada 6 jalan yang menghubungkan kota A ke kota B dan 4 jalan yang menghubungkan kota B ke kota C. Dalam berapa banyak cara seseorang dapat berkendara dari kota A ke kota C?

Answer:
$6\times4=\ 24\ ways$

Jawaban:
$6\times4=\ 24\ cara$

4.     There are five different teacups, three saucers, and four teaspoons in “Tea Party” store. How many ways are there to buy two items with different names?

Di “Tea Party” store terdapat 5 cangkir berbeda, 3 tatakan, dan 4 sendok. Berapa banyak cara untuk membeli 2 benda berbeda?

Answer:
There are three possible pair of items:
i) teacup and saucer $=5\times 3=15\ ways $
ii) teacup and teaspoon $=5\times 4=20\ ways$
iii)saucer and teaspoon $=3\times 4=12\ ways$
So, there are 47 ways.

Jawaban:
Ada 3 kemungkinan pasangan benda yang berbeda:
i) cangkir dan tatakan $=5\times 3=15\ cara$
ii) cangkir dan sendok $=5\times 4=20\ cara$
iii) tatakan dan sendok $=3\times 4=12\ cara$
Jadi, terdapat 47 cara.

5.       We call a number “odd-looking if all of its digits are odd. How many four digits odd-looking numbers are there?

Sebuah bilangan disebut “odd-looking” jika semua angka-angka penyusun bilangan tersebut ganjil. Ada berapa banyak bilangan “odd-looking” yang ribuan?

Answer:
Analyze each digits.
i) The units: 5 possibilities (1, 3, 5, 7, and 9)
ii)The tenth: 5 possibilities (1, 3, 5, 7, and 9)
iii)The hundredth: 5 possibilities (1, 3, 5, 7, and 9)
iv) The thousandth: 5 possibilities (1, 3, 5, 7, and 9)
So, there are $5\times 5\times 5\times 5=625$ 4 digits odd-looking numbers.

Jawaban:
Lihat masing-masing angka penyusun bilangan tersebut.
i) Satuan: 5 kemungkinan (1, 3, 5, 7, and 9)
ii) Puluhan: 5 kemungkinan (1, 3, 5, 7, and 9)
iii) Ratusan: 5 kemungkinan (1, 3, 5, 7, and 9)
iv) Ribuan: 5 kemungkinan (1, 3, 5, 7, and 9)
Jadi, ada $5\times 5\times 5\times 5=625$ bilangan odd-looking yang ribuan.

6.    We toss a coin three times. How many different sequences of heads and tails can we obtain?

Sebuah coin dilempar tiga kali. Berapa banyak rangkaian berbeda dari angka dan gambar?

answer:
First toss: tail or head, 2 possibilities
Second toss: tail or head, 2 possibilities
Third toss: tail or head, 2 possibilities
So, there are 8 sequences of heads and tails.

Jawaban:
Pelemparan pertama: angka atau gambar, 2 kemungkinan.
Pelemparan kedua: angka atau gambar, 2 kemungkinan.
Pelemparan ketiga: angka atau gambar, 2 kemungkinan.
Jadi, terdapat 8 rangkaian berbeda dari angka dan gambar.